Прочтите следующий абзац, посвященный сдаче анализа на редкое (вымышленное) заболевание — назовем его вымышлит. С учетом имеющейся информации, каковы шансы, что я страдаю вымышлитом?
Я прохожу обследование по поводу вымышлита, заболевания, поражающего одного человека из миллиона. У меня отсутствуют симптомы, но я читал об этом недуге в интернете и хочу убедиться, что со мной все в порядке. Врач говорит, что если вымышлит имеется, то анализ всегда безошибочно выявляет его. Если человек здоров, то анализ точен на 99,9%. Прекрасно! Я сдаю анализ и через пять минут получаю результат. Он положительный. Анализ показал, что у меня вымышлит. Ну почему мне так не везет!
ВНИМАНИЕ! Это очень важно.
Интуиция подсказывает, что мне впору перепугаться. В данном случае наиболее распространенной реакцией, даже со стороны некоторых специалистов, будет оценить вероятность наличия у меня вымышлита в 99,9%. Это ошибочное суждение, не учитывающее крайне низкую базовую распространенность недуга и эффект данного показателя в сочетании с точностью анализа. Фактически я с вероятностью около 99,9% не болен вымышлитом. Как же так?
Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем разобраться, что произойдет, если проверить на вымышлит миллион человек. Мы знаем, что это заболевание в действительности встречается лишь у одного из миллиона, а также что анализ с гарантией выявит больного. Данный анализ по определению не может быть ложноотрицательным. Итак, мы имеем один гарантированный положительный результат из миллиона. Но это лишь начало логической цепочки.
Мы также знаем, что остальные 999 999 человек не больны и что для них анализ на 99,9% верен. Это означает, что он даст отрицательный результат у 999 человек из каждой 1000, но 1 на 1000, ошибочный, окажется ложноположительным. Таким образом, протестировав 999 999 человек, мы получим еще 1000 положительных результатов — все ошибочные.
В общей сложности мы получим 1 + 1000 = 1001 положительный результат на 1 000 000. Нам известно, что только один из них принадлежит человеку действительно больному вымышлитом, но не известно, кто он, иначе не потребовалось бы делать анализы. Отличить один истинно положительный результат от 1000 ложноположительных невозможно.