Цитаты из книги «Большой роман о математике. История мира через призму математики»

G. Утверждение G нельзя доказать с помощью аксиом теории. Это яркий пример метаматематического утверждения, но благодаря ловкости мысли Гёделя оно может быть выражено на языке математики. Поэтому стало возможным попытаться доказать G на основании аксиом теории. Рассмотрим два случая. Предположим, что доказать утверждение G возможно; в этом случае оно неверно, то есть ложно, т. к., согласно утверждению G, оно не доказуемо. Если можно доказать ложное утверждение, то делаем вывод, что теория непоследовательна! Теперь предположим, что доказать утверждение G невозможно. В этом случае утверждение G является истинным, и это означает, что аксиомы теории не в состоянии доказать утверждение, которое, тем не менее, верно! Таким образом, теория является неполной, поскольку есть истины, которые невозможно доказать с ее помощью. Исходя из этого, в любом случае мы потерпим фиаско. Теория либо непоследовательна, либо неполна.

К сожалению, пришлось столкнуться с неизбежным подтверждением еще раз. В 1963 г. американский математик Пол Коэн доказал, что первые двадцать три проблемы Гильберта также принадлежали к этой странной категории неразрешимых утверждений. Невозможно их доказать или опровергнуть с помощью аксиом «Принципов математики». Если удастся найти решение первой проблемы, оно в любом случае будет частью другой теории. Но в этой новой теории, в свою очередь, появятся собственные пробелы и другие неразрешимые утверждения.

Унификация математики также привела к значительной реорганизации самой дисциплины. Одним из самых активных участников этого движения стал немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт; как и Пуанкаре, он известен как один из самых ярких и влиятельных математиков начала XX в. В 1900 г. Гильберт участвовал в Парижском конгрессе и в среду 8 августа выступил в Сорбонне с речью, которая осталась в истории. Немецкий математик представил список основных нерешенных вопросов, которые, по его мнению, должны были стать вектором развития математики будущего столетия. Математики любят вызовы, и здесь он попал в цель. Двадцать три проблемы Гильберта вдохновили ученых на исследования, и уже совсем скоро на них начали давать ответы, в том числе ряд математиков, присутствовавших в тот день в зале на конгрессе. К 2016 г. четыре из этих проблем все еще остаются без ответа. Среди них восьмая из списка Гильберта проблема, так называемая гипотеза Римана, которая считается величайшей математической гипотезой нашего времени.

одно из удивительных свойств рядов чисел: сумма бесконечного количества чисел может быть конечной! Результат, полученный выше, доказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав 200 метров

Помимо прочего Фибоначчи уделил особое внимание описанию числа, известного еще со времен Античности – золотого сечения. Число, приблизительно равное 1,618, которое Древние Греки считали значением идеальной пропорции. Как и число π, золотое сечение тоже является бесконечным числом, именуемым также числом φ

Удивительно, но эти два числа всегда будут двумя последовательными числами из ряда Фибоначчи! Прогуливаясь по лесу, вы сможете найти шишки с количеством спиралей 5–8, 8–13 или 13–21, но никогда 6–9 или 8–11. Эти спирали Фибоначчи можно с большими или меньшими усилиями отыскать во многих других растениях. В то время как в ананасе или в цветке подсолнуха они видны невооруженным глазом, в созревшем кочане цветной капусты найти их гораздо сложнее. Тем не менее они там есть!

господство арабской мусульманской империи привлекало внимание завистников, и арабы были вынуждены постоянно обороняться, а на первый план вышли расходы на содержание армии.

Теэтет Афинский – древнегреческий математик, живший в IV в. до н. э., – разработал теорию правильных многогранников. В геометрии многогранник – это фигура, объем которой ограничен плоскими гранями. Так, куб и пирамида – это примеры многогранников. Шар и цилиндр, в отличие от многогранников, имеют округлую поверхность. «Жеод», состоящий из треугольников, также является гигантским многогранником, несмотря на то, что из-за большого количества элементов выглядит похожим на сферу.

Теэтет Афинский – древнегреческий математик, живший в IV в. до н. э., – разработал теорию правильных многогранников. В геометрии многогранник – это фигура, объем которой ограничен плоскими гранями. Так, куб и пирамида – это примеры многогранников. Шар и цилиндр, в отличие от многогранников, имеют округлую поверхность. «Жеод», состоящий из треугольников, также является гигантским многогранником, несмотря на то, что из-за большого количества элементов выглядит похожим на сферу.

Эти отклонения практически незаметны на первый взгляд. Большинство людей не обращают на них внимания, но вот для меня как математика в этом нет ничего удивительного. Я скажу даже более, я ожидал их найти! Архитектор не допустил ошибки – в мире существует множество других строений аналогичной конфигурации, где возле около дюжины точек группируются по пять элементов, в отличие от шести во всех остальных случаях. Эти точки являются результатом важных геометрических открытий, сделанных более чем две тысячи лет назад древнегреческими математиками.