G. Утверждение G нельзя доказать с помощью аксиом теории.
Это яркий пример метаматематического утверждения, но благодаря ловкости мысли Гёделя оно может быть выражено на языке математики. Поэтому стало возможным попытаться доказать G на основании аксиом теории. Рассмотрим два случая.
Предположим, что доказать утверждение G возможно; в этом случае оно неверно, то есть ложно, т. к., согласно утверждению G, оно не доказуемо. Если можно доказать ложное утверждение, то делаем вывод, что теория непоследовательна!
Теперь предположим, что доказать утверждение G невозможно. В этом случае утверждение G является истинным, и это означает, что аксиомы теории не в состоянии доказать утверждение, которое, тем не менее, верно! Таким образом, теория является неполной, поскольку есть истины, которые невозможно доказать с ее помощью.
Исходя из этого, в любом случае мы потерпим фиаско. Теория либо непоследовательна, либо неполна.