Активные среды характеризуются не только наличием связи между отдельными точками среды, её элементами: наличием потоков вещества и/или энергии, например диффузии или теплопроводности – диффузионный член в (1). Важной их особенностью является достаточно сложное нелинейное поведение каждого отдельного элемента, описываемое как раз нелинейным свободным членом в системах математических уравнений – реакционным членом формулы (1). Исторически сложилось так, что в первую очередь были изучены так называемые активные среды с восстановлением; их рассмотрим более детально в следующем разделе.

Однако перед тем представляется полезным уточнить, отчего форма реакционной части систем, описывающих активные среды, столь существенна. Дело в том, что именно их форма описывает положение и особенности стационарных состояний исследуемой системы. Вспомним, что стационарными состояниями называют те состояния динамической системы, к которым такая система самопроизвольно устремляется из начальных условий, в которых она оказалась по тем или иным причинам; различают стационарные состояния устойчивые и неустойчивые. То есть именно они-то и задают «целеустремлённость» системы. О важности изучения стационарных состояний динамической системы речь уже шла в разделе 1.7 первого выпуска ОЗК.

Нахожу полезным напомнить, что исследование динамических систем сводится в общем случае к четырём этапам: 1) нахождение стационарных состояний системы на её фазовом портрете; 2) выявление точек бифуркации, а также положения бифуркационной границы на её параметрическом портрете; 3) нахождение вариантов переходных процессов; 4) выявление особых случаев, представляющих тот или иной научный и практический интерес. Поиск стационарных состояний динамической системы является, как видим, первоочередной задачей её исследования. В (2019b, Москаленко и соавторы) проведён ретроспективный анализ литературы, посвящённой исследованию динамических систем, в ходе которого было выявлено три типа устойчивости динамических систем, в том или ином виде упоминаемых в научных публикациях; в (2023, Moskalenko, Makhortykh) он кратко повторен для иностранных коллег. Для удобства читателя, ниже приведены некоторые базовые понятия и положения теории динамических систем, чтобы прояснить важность и теоретическую обоснованность каждого из четырёх этапов исследование динамических систем.

Функции, описывающие реакционную часть систем активных сред, столь важны оттого, что они соответствуют так называемым нуль-изоклинам, то есть множеству точек фазового портрета системы, которые соответствуют стационарным значениям той или иной переменной состояния системы («химической компоненты» в терминах «реакция—диффузия»); места пересечения нуль-изоклин соответствуют совпадению стационарного состояния нескольких переменных состояния, а точки пересечения нуль-изоклин всех переменных состояния соответствуют общим стационарным состояниями. Полезно помнить также, что в теории динамических систем выделяют локальные стационарные состояния и глобальное стационарное состояние; каждое из них может быть либо устойчивым, либо неустойчивым. (Выделяют ещё полуустойчивые стационары, однако их обсуждение уже находится слишком далеко от темы этого обзора.)

Происходящие в динамической системе процессы принято, в рамках качественной теории дифференциальных уравнений, рассматривать в так называемом фазовом пространстве, – которое позволяет следить за последовательностью смены системой фаз её состояний без учёта привязки ко времени. Такие последовательности смены состояний называются фазовыми траекториями. Согласно (1981, Андронов и соавторы), фазовое пространство динамической системы – это эвклидово пространство с размерностью, в два раза превышающей число переменных состояния (поскольку отслеживаются в этом пространстве одновременно и переменные состоянии и их скорости). Фазовый портрет системы – разбиение фазового пространства на семейства фазовых траекторий; с его помощью изучают качественное поведение системы. Некоторые варианты фазового пространства базовой модели классических автоволн были представлены в первом выпуске ОЗК при обсуждении некоторых мифов.

Бифуркация динамической системы – это такие изменения в структуре динамической системы, которые приводят к соответствующим изменениям топологической структуры её фазового портрета. То есть такие изменения, связанные с заданием новых значений параметрам, приводят к появлению или исчезновению стационарных состояний, существующих лишь в некотором диапазоне значений параметров системы.

Академик А. А. Андронов, заложивший основы теории динамических систем, считал (1981, Андронов и соавторы, с. 217), что «точками бифуркации являются негрубые системы и только они»; и в то же время для систем с несколькими параметрами принято говорить о бифуркационной точке как о таком сочетании значений координат параметрического пространства, которое соответствует точке бифуркации (или ещё говорят: «имеет бифуркационное значение»). Таким образом, бифуркационная точка и точка бифуркации принадлежат к разным типам объектов, и это следует учитывать при изложении результатов в научных изданиях (хотя эти понятия и близки по смыслу, что создаёт соблазн их воспринимать в качестве синонимов).

Переходный процесс определяется как участок фазовой траектории протяжённостью от некоторых начальных условий до стационарного режима.

Диаграмма, с помощью которой иллюстрируют зависимость поведения системы от её параметров (её стационарные состояния, её бифуркационные точки, а также варианты переходных процессов), называют параметрическим портретом системы или бифуркационной диаграммой. Можно сказать и так: параметрический портрет динамической системы – это результат разбиения пространства параметров на области её различного поведения, соответствующие топологически разным её фазовым портретам; подробнее смотрите в (2019b, Москаленко и соавторы; 2023, Moskalenko, Makhortykh).

Принято различать три типа устойчивости (неустойчивости) динамических систем: 1) устойчивость стационарного режима относительно малых изменений начальных условий (устойчивость по Ляпунову; а также её варианты); 2) устойчивость стационарных режимов на фазовом портрете системы относительно малых изменений значений коэффициентов (представляется оправданным её обозначать как «бифуркационная устойчивость»); 3) устойчивость стационарных режимов на фазовом портрете системы относительно изменения количества степеней свободы системы (представляется оправданным её обозначать как «сингулярная устойчивость»).

Бифуркационная устойчивость динамической системы – это свойство системы сохранять топологическую эквивалентность её фазовых портретов при изменении значений коэффициентов системы уравнений без появления в системе новых степеней свободы.

Сингулярная устойчивость динамической системы – это свойство системы сохранять топологическую эквивалентность её фазовых портретов при появлении в системе новых степеней свободы.

Этим трём типам устойчивости системы соответствуют три типа «малых изменений» (по Андронову) системы: 1) изменение начальных условий; 2) изменение значений параметров системы (которым в уравнениях соответствуют коэффициенты) при сохранности количества степеней свободы системы; 3) изменение уровня сложности системы путём изменения количества её степеней свободы. А в кибернетике такому делению соответствуют представления о трёх видах воздействия на систему: 1) силовое воздействие; 2) управленческое воздействие 3) воздействие на уровень сложности системы.

Важным элементом параметрического портрета является бифуркационная граница. Было сформулировано (2019b, Москаленко и соавторы) следующее определение.

Бифуркационная граница динамической системы – это поверхность параметрического пространства этой системы, такая, что найдётся малая окрестность этой поверхности, в которой любым двум точкам по разные стороны от этой поверхности (сколь угодно близким к этой поверхности) соответствуют два топологически неэквивалентных фазовых портрета этой системы (в её фазовом пространстве).

Обсуждение некоторых особенных бифуркационных явлений, наблюдаемых иногда вблизи бифуркационной границы, можно найти в разделе 2.3 этого выпуска ОЗК.

Вопросы медицинской диагностики так или иначе сводятся к выяснению особенностей этих трёх видов устойчивости динамической системы, в каком-то смысле эквивалентной обследуемому пациенту. То есть это вопросы идентификации системы и идентификации её параметров, решение которых необходимо для последующего верного выбора способов лечения. Ранее с использованием представлений о пациенте, как о динамической системе, было проиллюстрировано в разделе 5.2 первого выпуска ОЗК, почему одни и те же лечебные воздействия могут приводить к противоположным результатам.