2. Математические аспекты автоволновых процессов сердца

В этом разделе изложены основные математические сведения из теории возбудимых сред (известна также под названиями: теория автоволновых процессов, теория автоволн). Возбудимые среды следует рассматривать как разновидность динамических систем. Более полно теория динамических систем изложена в хорошо известных классических книгах, – например, можно рекомендовать (1981, Андронов и соавторы; 1990, Лоскутов, Михайлов; 1991, Гласс, Мэки; 2002, Гукенхеймер, Холмс). Считается (2007, Атауллаханов и соавторы), что общей теории активных сред пока не существует, и каждое достаточно глубокое исследование какого-либо образца активной среды, как правило, даёт примеры новых типов динамики и самоорганизации, однако нет оснований думать, что эти примеры уникальны, поскольку весь предыдущий опыт исследований активных сред показывает скорее обратное – найденные новые режимы обнаруживаются затем и в других системах, причём нередко и в системах уже давно изучаемых. Можно быть уверенным, что и по прошествии четверти XXI столетия теория возбудимых сред как часть теории активных сред продолжает развиваться, приготовив ещё немало неожиданностей для новых исследователей.

В основном здесь будут затронуты лишь вопросы, наиболее существенные для понимания природы сердечной аритмии, без особого углубления в детали математического описания автоволновых процессов. Желающие углубить свои математические знания в этой области смогут легко найти литературу на эту тему (смотрите, например, указанную в предыдущем абзаце). В первую же очередь важно понять, читая материал этого раздела, что обобщение, которое логика исследователей совершила в отношении особых типов живых и неживых систем, называемых теперь автоволновыми системами, базируется на неких реальных свойствах самих таких систем. Дополнительный акцент ниже сделан на пояснении математических различий между понятиями, которые в их математическом оформлении могут для нематематиков выглядеть практически одинаковыми, – пояснения, которые математикам покажутся, наверное, излишними, но которые будут весьма полезны для медиков и биологов.

2.1. Активные среды, «реакция—диффузия» и автоволновые процессы

Попытка систематизировать несколько разрозненные сведения из теории автоволн была предпринята автором недавно, смотрите в (2024, Москаленко, Махортых); для удобства читателей здесь отчасти повторяются изложенные в указанной работе сведения, а за более полным списком библиографических ссылок читатели могут обратиться к указанному источнику.

Название «активные среды» используют в физике и в биофизике для таких систем, для которых «характерно наличие распределенных внешних источников энергии, то есть с термодинамической точки зрения это открытые системы, далекие от равновесия» (2006, Елькин). Именно это качество и делает поведение активных сред принципиально иным, чем поведение систем, которые были привычны для физиков XIX и XX веков. Даже волны в активных средах распространяются совсем по иным законам, чем хорошо известные всем ещё из школьного курса звуковые или электромагнитные волны: в активных средах наблюдаются волны нелинейные. В качестве одного из вариантов нелинейных волн в активных средах известны автоволны; они были изучены и описаны первыми. Наверное, автоволны можно считать наиболее простым вариантом нелинейных волн.

Автоволнами традиционно называют «волновые процессы, имеющие устойчивые ("самоподдерживающиеся") параметры – скорость, амплитуду, форму импульса» (2006, Елькин). Автоволны принято понимать как самоподдерживающийся волновой процесс в термодинамически неравновесной среде, остающийся неизменным при достаточно малых изменениях как начальных, так и граничных условий (1979, Васильев и соавторы). С тех пор, как удалось понять существенные особенности активных сред, наблюдаемые в них автоволновые процессы попали под пристальное внимание математиков, физиков и биологов, а накопленный прежде опыт физиологов оказался очень полезной базой для построения нового биофизического языка описания явлений, наблюдаемых в возбудимых тканях организма. В качестве активных сред могут быть объекты и живой и неживой природы. В качестве примера из неживой природы хорошо известны лазеры; в разделе 1 упоминался уже пример с сухой травой в степи, к нему же можно добавить леса, также известные пожароопасностью. Однотипность описания автоволновых явлений самой различной природы заключается в том, что все они описываются параболическими дифференциальными уравнениями с частными производными (параболическими системами), причём с нелинейным свободным членом специального вида.

Известно также, что многие динамические системы независимо от того, являются ли они физическими, химическими или биологическими, могут быть описаны в традиционных терминах «реакция—диффузия» (1991, Winfree; 2000, Твердислов, Яковенко; 2007, Лоскутов, Михайлов). На формальном языке математики это означает, что возможным оказывается описать такие системы при помощи систем дифференциальных уравнений, в которых одна группа членов правой части уравнений описывает локальную динамику («реакцию» в общем смысле; термин был заимствован из практики составления динамических систем, описывающих химические реакции в растворах), а второй группой членов описываются процессы пассивной диффузии. «Диффузию» в данном случае следует понимать в обобщённом смысле, а именно как некоторой природы связь между элементами (или точками) среды, описываемую при помощи диффузионных членов параболической системы (2006, Елькин, с. 29). Системами уравнений такого типа описываются многие активные среды, включая и системы с автоволновыми процессами (автоволновые системы). С позиций математики системы типа реакция—диффузия в общем случае также представляют собой параболические системы; подробнее об этом можно посмотреть, например, в (1995, Нахушев, с. 74; 2024, Москаленко, Махортых, с. 5).

Итак, автоволновые системы следует считать подмножеством систем типа реакция—диффузия, однако с некоторыми специальными требованиями к их правым частям, то есть к реакционным членам. С другой стороны, системы типа реакция—диффузия и активные среды следует считать, наверное, лишь пересекающимися множествами. Математически и семантически существенные различия между системами типа реакция—диффузия и автоволновыми системами пояснены в представленных здесь формулах (1)—(4).

В общем виде многокомпонентную систему типа реакция—диффузия можно записать следующим образом (1981, «Автоволновые процессы…»):

Отметим, что в формуле (1) член содержащий лапласиан, ∆, и называют диффузионным членом; а коэффициент D, связанный с лапласианом математической операцией умножения, называют в общем смысле коэффициентом диффузии. Причём коэффициент диффузии в самом общем смысле вовсе не должен представлять собой константу, а может, в зависимости от решаемого класса задач, и сам быть функцией от времени, от переменных состояния или от координат пространства. Лапласиан, или оператор Лапласа – это математический оператор, то есть его аргументом может быть только функция, а не число. Важно обратить внимание в формуле (1), что для каждого компонента такой системы диффузия лишь этого компонента влияет на изменение его локальной концентрации. Хотя тот или иной конкретный вид реакционной части (вектора свободных членов) может обеспечивать локальное уменьшение или увеличение любых компонентов за счёт химических реакций между ними (или в более общем случае, – например, при описании биологических популяций, – локальное изменение компонентов будет происходить за счёт иных процессов: например, пищевых или половых).

Некоторые исследователи предлагают системы типа реакция—диффузия записывать в ещё более общем виде. Так, например, в (2006, Елькин, с. 29) «общая двухкомпонентная РД-система» предложена в следующем виде:

В формуле (2): D = { D_ij }– тензор диффузии; остальные математические символы имеют тот же смысл, как указано для (1). Следует обратить внимание в формуле (2), что изменение локальной концентрации каждого компонента происходит за счёт диффузии иного компонента. Для меня остаётся несколько неясным, каким реальным процессам это может соответствовать в химическом реакторе; однако для описания популяционных взаимодействий такой вариант записи систем типа реакция—диффузия, наверное, может иметь смысл. Следует также понимать, конечно же, что формулу (2) допустимо расширить на любое количество компонентов системы и что в таком случае количество диффузионных членов будет в каждом отдельном уравнении увеличиваться до числа, равного количеству компонентов системы, в общем случае. Иными словами, по каждому из компонентов системы диффузия идёт независимо и характеризуется своим отдельным коэффициентом диффузии, – который может быть равен и нулю в отдельных случаях. Таким образом, в более общем виде, то есть для случая многокомпонентной системы типа реакция—диффузия в более широком понимании, формулу (2) следует переписать в следующем виде (3):

Следует понимать, что свойства систем типа реакция—диффузия – в любом варианте написания из представленных выше (1), (2) или (3) – в общем случае оказываются иными, чем для систем, описанных как автоволновые. Как уже сказано, чтобы система типа реакция—диффузия соответствовала свойствам автоволновых систем, должны выполняться два условия, известных эмпирически на основе исследований XX столетия: 1) для каждого компонента такой системы диффузия лишь этого компонента влияет на изменение его локальной концентрации и 2) реакционные члены должны иметь некоторый специальный вид.

В начале 1990-х годов Артуром Винфри (1991, Winfree) была предпринята попытка систематизировать встречающиеся в литературе варианты математического написания двухкомпонентных систем типа реакция—диффузия, проявляющих автоволновые свойства. В результате ему удалось выделить четыре формата (пронумерованных им от 0 до 3) написания таких систем в их наиболее обобщённом виде; им также была предложена замена переменных для перехода из одного такого формата в другой. В (2019a, Москаленко и соавторы, с. 15) систематизация Винфри была дополнена пятым форматом (или форматом 4, при обозначении его в соответствии с порядком, введённым Винфри), который является более традиционным для советской научной школы:

В формуле (4): функции f(u, v) и g(u, v) представляют реакционную часть системы, а D∆u и δD∆u представляют диффузионную часть системы (где ∆ – оператор Лапласа и D – коэффициент диффузии). Переменными состояния u и v представлены обобщённые быстрые и медленные процессы соответственно; очевидно, что u и v