2.3. Активные среды с бифуркационной памятью

Кроме выше описанных вариантов автоволн в активных средах возможно наблюдать множество других интересных автоволновых явлений. Например, необычные переходные процессы, которые в научной литературе обозначают как «бифуркационные феномены памяти и запаздывания» были выявлены также и в активных средах: в миокарде (2007, Елькин и соавторы; 2009, Moskalenko, Elkin) и в системе свёртывания крови (2002, Атауллаханов и соавторы; 2007, Атауллаханов и соавторы). Обсуждение таких бифуркационных явлений, наблюдаемых иногда вблизи бифуркационной границы, можно найти в разделе 4.5 первого выпуска ОЗК. Как обобщение сведений из литературных источников о «задержке потери устойчивости», «решениях-утках» и «бифуркационной памяти», были сформулированы (2019b, Москаленко и соавторы) следующих три определения.

Динамика с явлениями бифуркационной памяти – это такой переходный процесс, при котором изменения во времени координат динамической системы происходят с приближением изображающей точки к той области фазового пространства, где прежде располагалось стационарное решение этой же самой динамической системы при близких значениях бифуркационного параметра или же где прежде располагалось стационарное решение сопряжённой с ней редуцированной (базовой, «статической», «вырожденной») системы. Особенность такой динамики выражается главным образом в двух феноменах, наблюдаемых на указанном участке переходного процесса: 1) в локальном уменьшении фазовой скорости и 2) в локальном сходстве фазовой траектории с той, которая характерна для уже не существующего стационарного решения.

Бифуркационное пятно семейства динамических систем – это множество точек (область) параметрического пространства этого семейства, расположенное непосредственно вблизи бифуркационной границы, причём точкам из этого множества присуще такое свойство, что у соответствующей им динамической системы наблюдается динамика с явлениями бифуркационной памяти.

Фазовое пятно динамической системы – это множество точек (область) фазового пространства динамической системы, которой присуще такое свойство, что на участке фазовых траекторий, проходящих через точки этой области, наблюдается динамика с явлениями бифуркационной памяти.

В первой статье о бифуркационной памяти (БП) в 2D-версии автоволновой среды с восстановлением (2007, Елькин и соавторы) описана ситуация, когда автоволновой вихрь в однородной изотропной среде спонтанно из режима, похожего на автоволновой меандр, переходит в режим кругового вращения; явлению этому было дано название «автоволновой серпантин» (англ.: autowave lacet). Поскольку результаты были получены с использованием модели Алиева—Панфилова – автоволновой системы, не относящейся к автоволновым системам Z-типа, – то уместно её обсудить здесь. Отметим, что в 2D-версии модели БВП таких феноменов наблюдать не удалось, хотя такие эффекты описаны для точечной версии модели БВП. Исходно модель Алиева—Панфилова (АП) представлена в следующем виде (1996, Aliev, Panfilov):

В таком виде она соответствует формату 0, по Винфри. Как указывают авторы модели, она имеет ряд существенных отличий от модели БВП, что позволяет с её помощью якобы более точно описывать свойства сердечной ткани. Существенным её отличием от классических автоволновых моделей является зависимость малого параметра, ε, от самих переменных состояния. Для удобства сравнения с двухкомпонентными системами типа реакция—диффузия, проявляющими классические автоволновые свойства, ранее представленными формулой (4), можно модель АП (6) переписать в виде, предложенном в (2024, Москаленко, Махортых, с. 11):

Как можно легко заметить в (7), после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых (обычные математические трудовые операции, изучаемые ещё в общеобразовательной средней школе) выявляется дополнительная функция h(u, v), которая отсутствует в автоволновых моделях Z-типа. Можно предположить, что особенности двумерных автоволновых вихрей, описываемых моделью АП, обусловлены функцией h(u, v), создающей дополнительную нелинейность всей системы. В разделе 4.3 особенности 2D-версии модели АП, описаны более детально.

В представлении (7) модель АП выглядит несводимой к какому-либо из перечисленных Винфри форматов, упомянутых выше. Существенно отличаются и фазовые портреты систем (5) и (6): таким образом, модель АП характеризуется нуль-изоклинами, существенно иными, чем у автоволновых систем Z-типа, и в вычислительных экспериментах демонстрирует поведение, существенно отличающее её от автоволновых систем Z-типа. В (2010, Алиев) приведено схематическое сравнение фазовых портретов моделей БВП и АП. Отметим, что, хотя в указанной работе схематически изображён предельный цикл как возможное стационарное состояние модели АП, его существование следует поставить под сомнение, ибо в этой модели, похоже, при всех вариантах значений её параметров остаётся одна устойчивая точка в нуле – стационар, к которому притягиваются все решения. При таких особенностях фазового портрета автоколебательный режим в модели АП невозможен. По тем же причинам невозможно в ней и существование триггерного режима, свойственного для автоволновых систем Z-типа. Другие различия модели АП и автоволновых систем Z-типа заинтересованные читатели могут найти в (2024, Москаленко, Махортых).

Все перечисленные признаки указывают на недопустимость считать модель АП принадлежащей классическим автоволновым системам Z-типа. Хотя она демонстрирует основные признаки классических автоволновых процессов и потому признание её принадлежащей к автоволновым системам выглядит уместным.

В общем же приходится признать, что исследование неклассических автоволновых систем находится ныне ещё в самом своём начале. В личной беседе Рубин Ренатович Алиев, один из авторов модели АП, мне признался, что сам он бифуркационной диаграммы не строил даже для точечной версии модели АП и потому ничего определённого утверждать не берётся по поводу возможности существования автоколебательного или триггерного режимов в этой модели. Ну, а роль феноменов бифуркационной памяти и в сердечной деятельности, и в работе других систем организма и вовсе остаётся пока ещё весьма недооцененной, на мой взгляд. Углубление понимания этих вопросов требует усилий нового поколения исследователей. Поскольку такие знания могут иметь фундаментальное значение для переосмысления основных положений биологической и медицинской наук.