а) переложите 3 спички так, чтобы вместо фигуры из 6 равносторонних треугольников получилась фигура их 6 равных четырёхугольников;

б) переложите 3 спички так, чтобы получилось 7 четырёхугольников, но на этот раз они могут быть не равные.

2-43. В фигуре, изображенной на рисунке:

а) переложите 3 спички так, чтобы получилось 3 равных квадрата;

б) переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 равных квадрата;

в) переложите 4 спички так, чтобы получилось 2 квадрата;

г) уберите 2 спички так, чтобы осталось 2 квадрата;

д) переложите 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов (допускается наложение одной спички поперек другой);

е) переложите 4 спички так, чтобы получилось 10 квадратов;

ж) добавьте к исходной фигуре ещё 4 спички так, чтобы квадратов стало 9;

з) расположите те же 12 спичек (все спички должны лежать в плоскости стола) так, чтобы они ограничивали 5 квадратов, причём каждый квадрат должен быть пуст, в противном случае квадраты, изображенные на рисунке, могли бы служить решением, поскольку в качестве пятого мы могли бы считать большой квадрат. Не разрешается ни укладывать две спички одна на другую, ни оставлять свободные концы.

2-44. Спички расположены, как показано на рисунке. Переложите 2 спички так, чтобы получилось 5 равных квадратов.

2-45. В фигуре, изображенной на рисунке:

а) снимите 3 спички так, чтобы получилось 3 равных квадрата;

б) переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 не равных квадрата;

в) выложите из пяти малых квадратов три, переложив не более 10 спичек.

2-46. Из 16 спичек сложено 5 квадратов. Переложите 2 спички так, чтобы число квадратов уменьшилось на один.

2-47. В пяти квадратах нужно переложить 4 спички так, чтобы получилось 4 квадрата равной величины.

2-48. Передвинув только 2 спички, постройте 4 одинаковых по размеру квадрата.

2-49. Уберите как можно меньше спичек так, чтобы оставшиеся спички образовали 4 равносторонних треугольника, таких же размеров, как и 8 треугольников в исходной конфигурации, и нигде не торчали свободные концы.

2-50. Уберите 5 спичек так, чтобы осталось только 3 квадрата.

2-51. Уберите 2 спички так, чтобы осталось только 4 квадрата.

2-52. Из 18 спичек, составляющих 6 равных квадратов, отнимите 2 спички так, чтобы осталось 4 таких же квадрата.

2-53. Из 18 спичек составьте:

а) пять квадратов;

б) один треугольник и 6 четырёхугольников по 3 двух разных размеров.

2-54. Из 18 спичек составьте шесть равных четырёхугольников и один треугольник, в два раза меньший по площади.

2-55. В фигуре, изображенной на рисунке:

а) убрать 5 спичек так, чтобы осталось 5 треугольников (два решения);

б) переложить 6 спичек так, чтобы получилась фигура, составленная из 6 симметрично расположенных равных четырёхугольников.

2-56. Переложите 7 спичек так, чтобы получилось 4 квадрата.

2-57. От 7 квадратов, которые образуют крест и составлены из 22 спичек, отнимите 6 спичек так, чтобы осталось 4 таких же одинаковых квадрата.

2-58. В изображенной фигуре, переложите 2 спички так, чтобы получилось 7 равных квадратов; затем, из полученной фигуры, уберите 2 спички так, чтобы осталось 5 квадратов.

2-59. В фигуре, состоящей из 22 спичек:

а) убрать 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных или 5 неравных квадратов;

б) убрать 6 спичек так, чтобы осталось 4 равных квадрата;

в) убрать 7 спичек так, чтобы осталось 4 равных квадрата.

2-60. Представьте себе, что на рисунке изображен остров, окруженный каналом. Ширина канала как раз равна длине одной спички, так что перебросить мостик через канал с помощью одной спички нельзя: невозможно опереться концами о берег канала. Попробуйте построить мост через канал с помощью 2 спичек, не склеивая и не связывая их концы.

2-61. Уберите 4 спички так, чтобы оставшиеся спички образовали 5 квадратов, причём квадраты могут быть и не одинаковой величины.

2-62. Уберите 3 спички так, чтобы оставшиеся образовывали 5 одинаковых квадратов.

2-63. Переложите 16 спичек так, чтобы образовалось 4 маленьких квадрата в одном большом.

2-64. Из 24 спичек сложена фигура, для которой придумано много задач:

а) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 равных квадрата;

б) уберите 3 спички так, чтобы осталось 7 равных квадратов;

в) уберите 4 спички так, чтобы оставшиеся образовали один большой и 4 маленьких квадрата;

г) уберите 4 спички так, чтобы оставшиеся образовали один большой и 3 маленьких квадрата;

д) образуйте 5 равных квадратов, убирая : -4 спички; -6 спичек; -8 спичек;

е) уберите 5 спичек так, чтобы осталось 6 равных квадратов;

ж) уберите 6 спичек так, чтобы получилось 2 квадрата и 2 равных неправильных шестиугольника;

з) уберите 6 спичек так, чтобы из оставшихся образовалось 3 квадрата;

и) уберите 6 спичек так, чтобы из оставшихся образовалось 4 различных по величине квадрата;

к) уберите 8 спичек так, чтобы осталось только 2 квадрата (два решения);

л) уберите 8 спичек так, чтобы осталось 3 квадрата;

м) уберите 8 спичек так, чтобы осталось 4 равных квадрата (два решения).

2-65. Сколько одинаковых квадратов можно сложить из 24 спичек, не ломая их и используя при этом все спички?

А сколько квадратов можно образовать из 24 спичек, если считать при этом ещё дополнительные квадраты других размеров?

2-66. Убрать 10 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата. (Есть несколько различных решений).

2-67. Уберите 17 спичек так, чтобы осталось ровно 5 треугольников.

2-68. Экономный фермер для своих 16 коров соорудил треугольные загоны, используя 30 звеньев ограды (рис. предыдущей задачи).

Какое наименьшее количество звеньев ему приходится убирать по утрам, чтобы выгнать всех коров на пастбище?

2-69. У фермера было 32 звена ограды (32 спички), с помощью которых он соорудил загоны для своих 8 коров так, что на каждый загон ушло по 4 звена.

На следующий день он поумнел и перестроил загоны так, что обошелся только 25 звеньями. Ещё через день уменьшил количество звеньев на 3. Наконец, ему пришла в голову мысль, как можно обойтись всего 16 звеньями ограды, чтобы отгородить своё место каждой из 8 коров. Восстановите на спичках искания этого фермера, отгородив 8 загонов 25-ю, 22-я и 16-ю спичками.

2-70. На рисунке 13 одинаковых квадратов. Требуется убрать всего 4 спички так, чтобы осталось 8 равновеликих квадратов.

2-71. Спичками выложено 16 одинаковых квадратов. А сколько всего разных квадратов можно насчитать в этой фигуре? Какое минимальное количество спичек нужно убрать, чтобы оставшаяся фигура не содержала ни одного, ни большого, ни маленького квадрата?

2-72. Количество спичек, используемых в задачах, возрастает и вам уже не хватает одной коробки, но главное хватает ли терпения?

Уберите 24 спички так, чтобы осталось 4 маленьких квадрата в одном большом.

2-73. Из 63 спичек составлен большой треугольник и много маленьких.

Сколько всего различных треугольников можно насчитать в этой фигуре?

Уберите 36 спичек так, чтобы оставшиеся спички образовали 4 равных треугольника.

2-74. Уберите из фигуры 16 спичек так, чтобы осталось 12 равновеликих квадратов.

2-75. Спички на рисунке изображают волейбольную сетку. Какое наибольшее число спичек можно убрать, чтобы сетка при этом не распалась на отдельные части?

2-76. Сколько нужно спичек, чтобы построить фигуру, содержащую 60 квадратов, если разрешается накладывать спичку на спичку и считать квадраты всех размеров?

Сколько нужно спичек, чтобы построить фигуру, содержащую 100 квадратов?

Раздел Б. От геометрических фигур перейдем к изображению различных предметов.

2-77. Бокал. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките вишенку из бокала. Вишенку трогать запрещается.

2-78. Рюмка. Решите такую же задачу для рюмки.

2-79. Рыба. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте рыбу плыть в противоположном направлении.

2-80. Весы. Весы составлены из 9 спичек и не находятся в равновесии. Требуется переложить в них 5 спичек так, чтобы весы уравновесились.

2-81. Фонарь. Переложив 6 спичек, превратите фонарь в 4 равных треугольника.

2-82. Топор (рис. выше справа). Переложив 4 спички, превратите топор в 3 равных треугольника.

2-83. Дом. Из спичек построен дом. Переложите 2 спички так, чтобы дом повернулся другой стороной (фасадом направо).

2-84. Летучая мышь (рис. слева ниже). Переложите 3 спички так, чтобы мышь летела в противоположную сторону.

Рак (рис. справа выше). Эта задача может быть представлена в другом варианте. Спичечный рак ползёт вверх. Переложите 3 спички так, чтобы он пополз вниз.

2-85. Рюмки. Две рюмки составлены из 10 спичек. Переложите 6 спичек так, чтобы получился дом.

2-86. Флюгер (рис. ниже слева). Переложив 4 спички, превратите флюгер в дом.

2-87. Ключ (рис. выше справа). Переложив 4 спички, превратите ключ в 3 квадрата.

2-88. Храм. Этот греческий храм сложен из 11 спичек.

Требуется:

а) переложить 4 спички так, чтобы получилось 15 квадратов;

б) переложить 2 спички так, чтобы получилось 11 квадратов.

2-89. Лампа. Переложив 4 спички (рис. слева ниже), получите из настольной лампы 5 равновеликих треугольников.

2-90. Лампа-2 (рис. справа выше). В лампе, составленной из 12 спичек, переложите 3 спички так, чтобы получилось 5 равных треугольников.

2-91. Звезда и крест. Переложите у этой 12-конечной звезды 4 спички так, чтобы получился 4-конечный георгиевский крест.

2-92. Кресты. Получив в предыдущей задаче георгиевский крест, переложите в нём 8 спичек так, чтобы получился крест, состоящий из 4 крестов.

2-93. Во вновь полученном кресте, переложите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 квадрата.

2-94. Звезда. Переложите в звезде 6 спичек так, чтобы получилось 3 равных и одинаково расположенных четырёхугольника.

2-95. Памятник. Требуется переложить 5 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата.

2-96. Поросёнок. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте поросёнка повернуться в противоположную сторону.

2-97. Стрела. Из 16 спичек выложена стрела:

а) переложите 8 спичек так, чтобы получилось 8 равных треугольников;

б) переложите 7 спичек так, чтобы получилось 5 равных четырёхугольников.

2-98. Звезда-2. Переложите 6 спичек так, чтобы получилось 6 равных симметрично расположенных четырёхугольников.

2-99. Зигзаг. Переложите 8 спичек так, чтобы получилось 2 неравных квадрата.

2-100. Изгородь. Переложите 14 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата.

2-101. Спираль. Спираль из 35 спичек закручена против часовой стрелки. Переложите 4 спички так, чтобы получилась такая же спираль, но закрученная по часовой стрелке.

2-102. Спираль-2. В такой же спирали из 35 спичек переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 неравных квадрата.

Раздел В. Площади фигур.

Примем за единицу длины – длину одной спички. Тогда площадь квадрата, сложенного из 4 спичек, будет составлять одну условную квадратную единицу (у. кв. ед.). Надеемся, что читатель обладает знаниями о площадях плоских фигур в объёме средней школы и ему не составит труда применить простейшие формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, правильных многоугольников или фигур составленных из этих простейших.

2-103. На рисунке изображен четырёхугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороной, равной одной спичке. Задача состоит в том, чтобы изменить форму четырёхугольника, не изменяя его периметра, так, чтобы площадь уменьшилась:

а) вдвое; б) вчетверо.

2-104. Из 6 спичек сложены прямоугольник и равносторонний треугольник. Периметры этих фигур одинаковы, а у какой больше площадь?

2-105. Из 6 спичек можно составить различные фигуры. Некоторые из них изображены на предыдущем рисунке. Спрашивается, у какой фигуры, составленной из 6 спичек, самая большая площадь?

2-106. Из 8 спичек можно составить ещё больше различных замкнутых фигур. Некоторые из них представлены на рисунке. Площади фигур различны. Сложите из 8 спичек фигуру с наибольшей площадью.

2-107. С помощью 4 спичек можно построить квадрат площадью 1 у. кв. ед. Сколько спичек потребуется, чтобы построить фигуру, имеющую площадь не менее 10 у. кв. ед.?

2-108. Дано 12 спичек. Требуется сложить фигуру, имеющую площадь 3 у. кв. ед. (Исключим простейший случай, показанный на рисунке к задаче 2-37).

2-109. Из 12 спичек можно сложить фигуру площадью 9 у. кв. ед. Переложив 8 спичек, уменьшите площадь на 4 у. кв. ед.

2-110. Постройте из 12 спичек фигуру площадью ровно 4 у. кв. ед.

2-111. Из 20 спичек составлены два прямоугольника: один из 14 спичек, а другой – из 6. Ясно, что площадь второго прямоугольника в 3 раза меньше площади первого. Сломайте данные фигуры и составьте новые, снова из 14 и из 6 спичек, причём с тем же отношением площадей.

2-112. Площадь прямоугольника из 14 спичек в 3 раза больше площади прямоугольника, составленного из 6 спичек. Теперь возьмите 1 спичку в большей группе, переложите её в меньшую и с помощью 7 и 13 спичек ограничьте снова две фигуры, из которых площадь одной была бы ровно в 3 раза больше площади другой.

2-113.

Соотношение площадей фигур 1:3. Теперь возьмите 1 спичку в большей группе, переложите её в меньшую, и постройте новые фигуры с тем же соотношением площадей. Только сделайте это так, чтобы 12 спичек из первоначального расположения остались на своих местах.

2-114. Примем за среднюю длину спички 5 сантиметров. Сколько потребуется спичек, чтобы выложить равными квадратами со стороной в одну спичку один квадратный метр?

Раздел Г. Деление фигуры на заданные части и разное.

2-115. Данную фигуру разделите на 4 одинаковые части с помощью 5 спичек.

2-116. Фигуру, составленную из 16 спичек, разделите спичками на две одинаковые части.

2-117. С помощью 7 спичек, разделите фигуру на 3 одинаковые части.

2-118. Данную фигуру (рис. ниже слева) разделите на 4 одинаковые части с помощью 8 спичек.

2-119. Квадрат ограничивают 16 спичек (рис. выше справа). Требуется разделить его на 4 фигуры площадью по 4 у. кв. ед. каждая с помощью 8, 10, 12 спичек (три задания). Разумеется, нельзя класть две спички на одну и ту же сторону. Труднее выполнить условие, используя 11 спичек (четвертое задание).

2-120. Выложенные в форме квадрата 16 спичек представляют изгородь двора. Часть площади двора занята домом, изображенным в виде квадрата из 4 спичек. Остальную часть двора требуется разделить при помощи 10 спичек на 5 участков, одинаковых по форме и по площади.

2-121. Данную фигуру разделите на 4 одинаковые части с помощью 8 спичек.

2-122. Сад, очертание которого изображено 20 спичками, и в середине которого находится дом квадратной формы, требуется:

а) разделить 18-ю спичками на 6 равновеликих и одинаковых по форме частей;

б) разделить 20-ю спичками на 8 одинаковых частей.

Раздел Д. Различные дополнения к геометрии, не вошедшие в предыдущие разделы по разным причинам.

Две задачи отличаются тем, что для их формулировки и решения, кроме спичек, нужен соответствующий рисунок на бумаге.

2-123. Сторона каждого маленького квадрата на рисунке, имеет длину в одну спичку. Требуется разместить ровно 26 спичек вдоль линий таким образом, чтобы они разделили весь чертёж на две части одинаковых размеров и формы, причем в одной из них должны находиться два нарисованных треугольника, а в другой – два круга.

2-124. На бумаге начерчен квадрат со стороной равной длине 4 спичек и прямыми линиями разделён на 16 меньших квадратов.

Задача состоит в том, чтобы расположить спички на листе выполняя три условия:

1) каждая спичка должна закрывать сторону одного из маленьких квадратов;

2) у каждого из маленьких квадратов ровно 2 стороны должны быть закрыты спичками;

3) спички нельзя размещать, на краю большого квадрата, то есть по внешним сторонам.

Решите ту же задачу для исходного квадрата с длиной стороны в 5 спичек.

Отдохнем от решения заданий. На уроках школьной геометрии, прежде чем решать задачи, учитель объясняет соответствующие теоремы и доказывает их. Оказывается и теоремы можно доказывать «на спичках». Очень важной для всего курса геометрии является теорема о сумме внутренних углов треугольника. Вот как можно доказать ее с помощью простой спички. Начертив на доске треугольник, положим на одну из его сторон (например, в вершине А) спичку, направленную головкой от точки А в сторону точки В.