Цитаты из книги «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним»

Как писал философ Томас Пейн: “Неописуемо трудно понять, что пространство не имеет конца, но еще труднее понять его конечность. Выше сил человека постичь вечную протяженность того, что мы называем временем, но еще невозможнее представить время, когда не будет времени”

У любого человека рано или поздно возникает интерес к бесконечности.

Парадоксы бывают самые разные. Какие-то из них – на самом деле просто наши собственные логические ошибки. Другие поднимают интересные вопросы об очевидных, казалось бы, вещах. А есть и такие, что могут угрожать существованию целой области математики, но зато дают возможность перестроить ее на более прочном фундаменте.

Парадокс Банаха – Тарского, который также называют парадоксом удвоения шара (хотя на самом деле это вовсе не парадокс, а доказанная теорема), заостряет внимание на том факте, что в бесконечном множестве точек, составляющих математический шар, понятия объема и меры не могут быть определены для всех возможных подмножеств.

Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.

Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным.

Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения.

В своем письме Рассел обратил его внимание на странный математический объект – множество всех множеств, не включающих себя, – после чего задал вопрос: включает ли это множество само себя? Если да, то оно не принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а значит, оно не включает себя. Если же нет, то оно принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а стало быть, включает себя.

Сверхскоростное перемещение – верный способ попасть в будущее, при условии что мы сумеем разработать технологию, позволяющую развить необходимую супервысокую скорость. Правда, это будет, к сожалению, путешествие в один конец. Способа вернуться обратно в прошлое мы пока не знаем, разве что нечто очень уж экстравагантное (и угрожающе непредсказуемое), вроде прыжка в “кротовую нору” – гипотетический тоннель в пространстве-времени.

В предстоящие десятилетия открывающиеся возможности приведут к возникновению любопытных личностных и этических дилемм. Математика и человеческое сознание окажутся в единой связке. Разработка технологии выгрузки, аппаратного и программного обеспечения потребует не только серьезных достижений в области науки и техники, но и интенсивного, глубокого математического анализа. Результатом (если он будет достигнут) станет новая форма существования человеческого сознания, в которой его можно будет поддерживать бесконечно. Именно в этой точке математика – квинтэссенция объективной всеобщности, лишенная эмоций и пристрастий, – сходится с самой сутью субъективности, ощущением того, каково это – быть.