Никогда не забуду, как увидел его впервые. Никогда. Только закрываю глаза, закрываю их, значит, как вижу его, до сих пор вижу. И так четко, так ясно, хотя столько времени прошло с тех пор, столько лет… Сколько же? Двадцать? Тридцать? Может, все сорок? Теперь и не вспомню. Позабыл. Зато его, его-то я никогда не забуду. До сих пор помню и буду помнить всегда.
Я вел семинар в Будапеште, необычный семинар, для особенно одаренных студентов. А он, Янош фон Нейман, пришел послушать, сидел на заднем ряду в аудитории. Габор Сегё предупреждал меня, а я всё равно оказался не готов. Совсем не готов к тому, как быстро он соображает. Сначала он сидел спокойно, сидел и улыбался, он всегда улыбался, этот паренек. А потом я записал на доске одну важную теорему. Это, говорю, чрезвычайно сложная теорема. Она еще не доказана. Никто еще не доказал ее. Многие пытались, да, пытались, только напрасно. Даже я пытался, и не один десяток лет, проверял свои доказательства на учениках. Я скоро ее докажу, я знаю. Я чувствую. В этом вся математика, понимаете? В чувстве! Ты всегда чувствуешь; решения еще нет, но есть чувство. Говоришь себе: «Ага! Вот оно! Чувствую, это правильно!» Но никогда не знаешь, до самого конца не знаешь. И даже под конец знаешь не всегда. Либо не понимаешь.
Значится, задал я задачу ученикам, написал теорему, написал свои рассуждения, показал, что у меня не получилось. Пока не получилось. И тогда говорю им, обсуждайте! Блестящие, все, как на подбор, блестящие юноши загомонили. Я так учу, понимаете? Кто-то так не может, а я люблю шум, вопросы, споры! Так мне работается лучше всего. Однако фон Нейман не участвовал в обсуждениях. Ни слова не сказал. Отмалчивался. Он сидел, закрыв глаза, а потом поднял руку. Я вызвал его к доске, он вышел и записал совершенно поразительное доказательство. За секунду. Без труда. Даже не раздумывая, сходу. Я не мог поверить своим глазам. Годы, долгие годы работы пронеслись передо мной. Он сделал нечто такое… красивое, элегантное. Помню, как подумал: «Что это? Этот юноша… Кто он такой?» Я так и не узнал, кто он такой, но с тех пор боялся фон Неймана.
В начале 1920-х Давид Гильберт заявил чрезвычайно амбициозную программу исследований: он хотел разобраться, можно ли построить целую математическую вселенную из одного набора аксиом. Цель программы – заложить полную и непротиворечивую основу, чтобы избежать неразрешимых парадоксов, на которые то и дело натыкаются ученые. Тем временем новые радикальные идеи всё дальше раздвигали границы математики, но угрожали пошатнуть ее стройную систему.
Молодой фон Нейман не устоял перед обаянием программы Гильберта. Он не столько твердо верил в то, что научные принципы должны зиждиться на непреложных истинах математики, сколько боялся нерациональности: она медленно поднималась из глубины, куда его коллеги успели копнуть в лихорадочных поисках истины.
Меня посетил известный в Будапеште банкир с сыном. У отца была ко мне необычная просьба. Он хотел, чтобы я отговорил его первенца становиться математиком. «Математикой на хлеб не заработаешь», – заявил он. Сначала я смутился, а потом поговорил с юношей. Блестящий был юноша! Ему не исполнилось еще и семнадцати, а он уже самостоятельно, без чьей-либо помощи, изучал разные концепции бесконечности, одну из коренных проблем абстрактной математики. В нем я узнал себя. Когда мне было тринадцать, отец запретил мне даже думать о математике, к которой я проявлял невиданный для своего возраста талант; по его словам, он сделал это, не потому что не заботится о моем умственном развитии, а потому что не хочет, чтобы я превратился в чудака с однобоким интеллектом, так что к сложным уравнениям я вернулся только в университете. Я подумал, будет неправильно отговаривать юношу от того, к чему у него природные склонности, но и с отцом спорить бесполезно – мало того, что он банкир, так еще и юрист, поэтому я сделал всё, что смог, чтобы помочь им найти компромисс. Юноша станет химиком и математиком. Он поступил в Швейцарскую высшую техническую школу в Цюрихе на химико-технологический факультет, вступительные экзамены туда провалил сам Альберт Эйнштейн, такие они оказались трудные, а еще его приняли одновременно в Берлинский и Будапештский университеты на факультет математики. Не знаю другого человека, кто бы взвалил на себя такое бремя и не сломался, однако этот юноша всего за четыре года и получил научную степень по химической технологии, и защитил докторскую по математике. Пойа, один из его преподавателей в Будапеште, рассказал, что он окончил университет с отличием, хотя едва посещал занятия, потому что большую часть времени проводил в Германии, где работал с Давидом Гильбертом. Нечего удивляться, что он стал самым молодым приват-доцентом за всю историю страны и занял профессорское кресло в двадцать два года. В качестве благодарности за мое посредничество фон Нейман прислал мне свою докторскую диссертацию. Более амбициозной работы трудно себе представить. Он покусился на святое.
Фон Нейман постарался не просто найти чистейшие и самые базовые математические истины, но и представить их в форме абсолютных аксиом – тезисов, которые невозможно отрицать, опровергнуть или оспорить; такие утверждения никогда не померкнут, не исказятся и останутся, подобно божествам, неподвластны времени, неизменны, вечны. На этом прочном фундаменте ученые смогут строить свои теории, разворачивать многогранную красоту величин, структур, пространств и изменений, без страха повстречать какое-нибудь чудище, жуткую химеру, дитя противоречия и парадокса, которая, пробудившись, способна разорвать на части аккуратный упорядоченный космос. Грандиозная и, по крайней мере на мой взгляд, несколько глупая попытка фон Неймана представить математику в виде формальной системы аксиом, конечно, не что иное, как суть программы Гильберта, которую аспирант подхватил, как свою собственную.
Категоричная и полная крайностей программа Гильберта стала приметой своего времени – отчаянной попыткой обрести стабильность в мире, который яростно вырывался из-под контроля. Она обрела форму в период наибольших перемен. Куда ни глянь – всюду фашизм, квантовая механика расшатывает наши убеждения о поведении материи внутри атомов, а теории Эйнштейна полностью переворачивают наши представления о времени и пространстве. Однако Гильберт, фон Нейман и остальные, им подобные, искали кое-что гораздо более фундаментальное, потому что тогда, как и сейчас, непрерывно растущая часть знания и технологии основывалась на точности и неприкосновенности царицы наук. На что еще нам было опереться? Сколько людей, столько и богов в пантеоне, а так называемые гуманитарные науки ничем не лучше философии – бездумные игры, в которые играют бессмысленными словами. Другое дело – математика. Она всегда была подобна факелу, истинному свету разума, ослепительному и неоспоримому. Но с наступлением XX века начались изменения. Многие математики испугались того, что царский трон вот-вот закачается, а корона, некогда крепко сидевшая на голове, опасно сдвинется набок. С каждым новым открытием становилось очевидно, что нет никакого единого основания, которое устроило бы всех математиков. Навязчивое подозрение о том, что, быть может, их царство целиком держится на честном слове, вошло в историю как «кризис оснований математики», и впервые со времен Древней Греции математики усомнились в своей дисциплине настолько сильно. Этот кризис был странным явлением, в котором поучаствовали наиболее неординарные мыслители и блестящие умы планеты, но, оглядываясь теперь, он представляется мне всего лишь очередным походом Короля Артура – разум преодолел все мыслимые пределы, но оказалось, что кубок у него в руках пустой.
Математическая вселенная построена наподобие египетских пирамид. Каждая теорема стоит на более глубоком и простом основании. На чем же тогда держится основание самой пирамиды? Есть ли под ним что-нибудь крепкое или вся конструкция парит над пустотой, как паутинка на ветру, распускается по краям, и только эфемерная, тающая нить мысли, привычки и веры не дает ей исчезнуть? Помню, как говорил об этом с друзьями. Что на это ответили логики? Да у них был нервный срыв! Настоящая травма! Кругом сплошные парадоксы. Самые основные постулаты геометрии потеряли всякий смысл, столкнувшись с необъяснимыми формами неевклидова пространства, с его невероятными обитателями, существование которых означало невозможное – параллельные прямые, те, что не должны пересекаться, однажды встретятся в бесконечно удаленной точке. Бессмыслица какая-то! Тогда математики вдруг поняли: доверять собственным аргументам больше нельзя. Подобно простому каменщику, который не ведает, какой величественный собор строит, а потому должен слепо верить, что опоры, возведенные до него, достаточно крепки, ученые увидели: можно и дальше просто верить, а можно копать глубже и глубже и докопаться до самого сердца математики в поисках краеугольных камней в основании всего строения. Но обнажать основы – дело опасное. Откуда знать, что нас ждет внутри линий разлома логики вселенной? Какие чудовища дремлют среди перепутавшихся корней человеческого знания? Кризис оснований математики был рискованным мероприятием. Из-за него одни лишились доброго имени, другие, как например Георг Кантор, – рассудка.
Кантор был экстраординарным человеком. Он создал теорию множеств, важнейший раздел современной математики, а еще во многом поспособствовал формированию кризиса, потому что ему удалось невозможное – он расширил бесконечность. До него бесконечность воспринимали как чисто ментальный конструкт, у которого нет аналогов в природе. Ей нет конца и края, она больше любого числа – полезная, хоть и причудливая абстракция, которая успела зарекомендовать себя как мощный математический инструмент. С его помощью стало возможным изучать бесконечно малые изменения, рассматривать такие сценарии, которые не поддавались изучению, не будь у нас такой манящей математики бесконечности, однако ученые приняли его концепцию с естественной настороженностью. Понятие бесконечности не признавали ни Платон, ни Аристотель, и такое неприятие сохранялось среди математиков до конца XIX века, когда Кантор объявил, что бесконечность на самом деле не одна, их великое множество. Научная работа Кантора посеяла полную неразбериху в математике: горизонты его теории расходились необозримо далеко, каждая бесконечность казалась обширнее всего, что ученые знали до сих пор, и кишела опасными полными противоречий понятиями, пороками логики, которые будто бы вообразил себе какой-нибудь обезумевший бог. С помощью новой теории Кантор смог наглядно доказать, что на прямой столько же точек, сколько во всём пространстве. Он взлетел очень высоко и нашел кое-что по-настоящему уникальное, о чем не задумывался никто до него, но критики, а их было немало, говорили, что это уже слишком. Бесконечности – вопрос, вне всякого сомнения, интересный, но их нельзя рассматривать как предмет сколько-нибудь серьезного математического исследования. Однако сам автор вооружился, казалось, неопровержимым доказательством. «Я всё вижу, но не верю!» – писал он близкому другу, закончив работу, и с той минуты перед ним возникла самая большая трудность: многие, как и он сам, не могли принять новый и сбивающий с толку символ веры.
Кантор родился и вырос в Российской империи. Российские подданные славились глубиной чувствования, фанатичностью в вопросах веры и политических убеждений и некоторой склонностью ко всему трагическому, и если для одних всё это – культурные клише, которые легко развенчать, то Кантор стал их живым воплощением; в них отчасти и крылась причина сложных и мучительных отношений ученого с его собственными идеями. Есть много свидетельств тому, что он был набожным лютеранином с тонко чувствующей душой. На публике он яростно защищал свою теорию, а наедине с собой едва мог разобраться с последствиями своего, безусловно, гениального открытия и с тем, что оно сообщало об окружающем мире. Кантор признавался дочери: его бесконечности разошлись так далеко, что существование самого Бога теперь под вопросом, а если не существование как таковое, то наши устаревшие представления о Нем и его Создании. В этих богословских диалектиках он был одновременно и прокурором, и адвокатом, что ранило его не меньше едких нападок со стороны многих коллег ученых. Великий Анри Пуанкаре назвал его работу «красивой патологией», болезнью, от которой математика в конце концов исцелится, а другие отмахнулись от него – это математическое безумие, совершенная бессмыслица, «туман в тумане, не иначе». Кантора даже называли ученым-шарлатаном и растлителем юных умов. Его задевали не только оскорбления, но и чрезвычайное восхищение, с которым некоторые встретили его работу. «Даже Господь Бог не изгонит нас из Рая, который создал Кантор!» – написал Гильберт. Когда сам Гильберт аплодирует тебе и превозносит, чувствуешь поддержку и собственную ценность, но Кантору такие похвалы претили, он считал их излишними, потому что работал не ради славы и денег и не стремился вписать свое имя в анналы истории. Нет, он отвечал на зов свыше, этот зов – сам по себе награда и цель. С юных лет Кантор слышал некий «незнакомый таинственный голос», который призывал его изучать математику. Позже он уверился в том, что развить теорию множеств ему помогло божественное вмешательство. Он верил: его открытие, как всякое истинное откровение, приведет расу людей к великой непостижимой истине. Однако всё происходило с точностью до наоборот. Никто не мог разобраться в его бесконечностях, оппоненты делали всё, лишь бы помешать его карьере и остановить исследования. Вне всякого сомнения, Кантор заслуживал работать в ведущих университетах Пруссии, но вместо того прозябал в Галле, в этом болоте, и выплескивал свое разочарование на всё сужающийся круг друзей и коллег. Он писал: «Некоторых пугает моя работа, и этот страх – своего рода близорукость, из-за которой невозможно увидеть настоящую бесконечность, хотя именно бесконечность в ее высшей и совершеннейшей из форм создала и вырастила нас. Недавно я, к сильному своему потрясению, получил письмо от Миттага-Леффлера. Он немало удивил меня, сообщив, что тщательно изучил статью, которую я предложил к публикации, и пришел к такому выводу: она „опережает свое время лет на сто“. В таком случае мне придется ждать до 1984 года. Это уже слишком, знаете ли! Что бы кто ни говорил, моя теория крепче скалы. Кто целится в нее, будет ранен собственными стрелами». Кантор хотел заставить критиков замолчать, доводя свою теорию до совершенства, и построил целую иерархию бесконечностей, но маниакальные эпизоды только усиливались, сменяясь периодами глубокой меланхолии и тяжелейшей депрессии. Приступы участились настолько, что Кантор уже не мог заниматься математикой. Вместо этого он направил свою кипучую энергию на то, чтобы доказать, что авторство пьес Шекспира на самом деле принадлежит английскому философу Фрэнсису Бэкону, а Христос – кровный сын Иосифа Аримафейского. Это лишь подкрепляло бытовавшее тогда мнение, будто Кантор понемногу сходит с ума. В мае 1884 года он пережил сильнейший нервный срыв, и его поместили в лечебницу в Галле. Его дочь вспоминала, как разительно он менялся во время приступов: то голосил и бранился на врачей и медсестер, то падал на пол, как каменный, и лежал молча. Один из его психиатров заметил: когда Кантор не был в ярости, его охватывали параноидальные мысли и мания преследования, везде мерещились приспешники дьявола, которые так и норовят напакостить ему. Между нервными срывами он продолжал преподавать математику и корпел над своими бесконечностями, но плоды собственных трудов преследовали его, и он попал в непонятную петлю, из которой не смог выбраться сам. Сначала он доказал, что та самая гипотеза, над которой он так долго трудился, – печально известная сегодня континуум-гипотеза – верна. А всего пару месяцев, а то и недель, спустя доказал, что она ошибочна. Правда-ложь-правда-ложь-правда-ложь – этот порочный круг повторялся снова и снова, только усугубляя страдания, сопровождавшие Кантора на склоне лет. Наконец, 6 января 1918 года, пережив смерть своего младшего сына, многочисленные болезни, банкротство и сильнейший голод во время Первой мировой войны, Кантор скончался от сердечного приступа в психиатрической клинике в Галле, где наблюдался последние семь месяцев жизни.
Смерть Кантора потрясла математическое сообщество, но не остановила споры, рожденные его бесконечностями. Как любая жертва непонятой идеи, он пострадал за великий дар, который оставил нам, но, конечно, не только ему не давал покоя кризис основ. В 1901 году Бертран Рассел, один из величайших европейских логиков, обнаружил губительный парадокс в теории множеств, и стал просто одержим своим открытием. Даже во сне ему не было покоя – парадокс снился ему каждую ночь. Рассел вместе с коллегой Альфредом Нортом Уайтхедом решили избавиться от него раз и навсегда и написали фундаментальный труд, стараясь свести всю математику к логике. Они не использовали аксиомы, как Гильберт и фон Нейман, а выбрали крайнюю форму логицизма – по их мнению, основание математики должно быть логическим, так они и начали строить математику от самого основания. Перед ними стояла колоссальная задача. Первые семьсот шестьдесят две страницы их титанического труда под названием «Principia Mathematica» были посвящены исключительно доказательству того, что один плюс один равняется двум. Авторы сухо заметили: «Упомянутое выше иногда полезно». Попытка Рассела свести математику только к логике тоже провалилась, и сны о парадоксе сменились новыми повторяющимися кошмарами, в которых отразились его сомнения в ценности собственных работ. Рассел грезил, как идет через анфиладу залов бесконечной библиотеки, винтовые лестницы исчезают в пропасти где-то под ним, а над головой сводчатый потолок взмывает к небесам. Со своего места он видел, как молодой худощавый библиотекарь спешит вдоль книжных полок с жестяным ведром в руках – таким обычно достают воду из колодца, ведро висит у него на локте, а внутри горит, не утихая, огонь. Он снимает книги с полок одну за другой, раскрывает пыльные обложки, листает страницы и либо ставит на место, либо бросает в ведро, где книгу пожирает пламя. Рассел наблюдал за библиотекарем в полной уверенности, какую чувствуешь только во сне, что он вот-вот возьмет единственный сохранившийся экземпляр «Principia Mathematica». Вот книга у него в руках. Рассел силится разглядеть выражение лица библиотекаря, пока тот листает книгу. Неужели улыбка тронула уголки его губ? Или это отвращение? Может, тоска? Смятение? Пренебрежение? Юноша поставил ведро, языки пламени лизнули ему пальцы; он остался неподвижно стоять, не выпуская книгу из рук, напрягшись всем телом под ее весом, а потом вдруг перевел взгляд на старого логика. Рассел проснулся в собственной постели, он кричал, так и не узнав судьбу своего детища.
Плотные ряды обозначений и сложные логические схемы Рассела и Уайтхеда, призванные создать полное и непротиворечивое основание математики, заняли более двух тысяч страниц. Докторская диссертация фон Неймана была настолько лаконичной, что его аксиомы уместились бы на одном листе. Хотя позднее выяснилось, что попытка фон Неймана тоже потерпела неудачу, его дерзость и краткость не остались незамеченными, и коллеги заговорили о его исследовании. В нем появились первые ласточки стиля, который он будет использовать в работе позднее – он берет предмет, снимает с него всё лишнее до самых аксиом и превращает в предмет анализа, в чисто логическую задачу. Его сверхъестественная способность сразу видеть главное или, наоборот, его близорукость, из-за которой он не видел ничего, кроме основ, – не просто ключ к пониманию его особенного гения, но и объяснение его едва ли не детской моральной слепоты.
О проекте
О подписке