Целые числа

Типы целых чисел в Julia:

Целые числа вводятся и выводятся стандартным образом:

julia> 10

julia> 0123456789

123456789

Тип по умолчанию для целых чисел зависит от разрядности системы (64-бита):

julia> typeof(10)

Int64

julia> typeof(0123456789)

Int64

Julia также определяет типы Int и UInt, которые являются псевдонимами для системных знаковых и беззнаковых типов целых чисел соответственно:

julia> Int

Int64

julia> UInt

UInt64

Большие целые числа, которые не могут быть представлены с использованием 64 бит, но могут быть представлены в 128 битах, всегда создают 128-битные целые числа, независимо от типа системы:

julia> typeof(10000000000000000000)

Int128

Беззнаковые целые числа

Беззнаковые целые числа вводятся и выводятся с использованием префикса 0x и цифр от 0 до 9, а также латинских букв от a до f, используемых для обозначения шестнадцатеричных чисел, использование заглавных букв A-F также допустимо. Размер беззнакового значения определяется количеством используемых шестнадцатеричных цифр:

julia> x = 0x1

0x01

julia> typeof(x)

UInt8

julia> x = 0x123

0x0123

julia> typeof(x)

UInt16

julia> x = 0x1234567

0x01234567

julia> typeof(x)

UInt32

julia> x = 0x123456789abcdef

0x0123456789abcdef

julia> typeof(x)

UInt64

julia> x = 0x11112222333344445555666677778888

0x11112222333344445555666677778888

julia> typeof(x)

UInt128

Значения, слишком большие для типов Int128, UInt128, при вводе получат специальный тип BigInt:

julia> typeof(100000000000000000000000000000000000000)

Int128

julia> typeof(1000000000000000000000000000000000000000)

BigInt

julia> typeof(0xffffffffffffffffffffffffffffffff)

UInt128

julia> typeof(0xfffffffffffffffffffffffffffffffff)

BigInt

Это не беззнаковый тип, но это единственный встроенный тип, достаточно большой для представления таких больших целых значений.

Поведение при переполнении

В Julia превышение максимального представляемого значения данного типа приводит к циклическому поведению. Пример (функции typemax(), typemin(), возвращают максимальное и минимальное значения для заданного типа, == оператор равенства):

julia> x = typemax(Int64)

9223372036854775807

julia> x+1

–9223372036854775808

julia> x + 1 == typemin(Int64)

true

julia> x = typemax(UInt64)

0xffffffffffffffff

julia> x+1

0x0000000000000000

julia> x + 1 == typemin(UInt64)

true

В тех случаях, когда переполнение возможно, рекомендуется производить проверку на цикличное поведение. В противном случае используйте тип BigInt арифметики произвольной точности. Ниже приведен пример поведения при переполнении и как его можно решить с помощью BigInt():

julia> 10^19

–8446744073709551616

julia> BigInt(10)^19

10000000000000000000

Числа с плавающей точкой

Типы чисел с плавающей точкой в Julia:

Числа с плавающей точкой вводятся и выводятся стандартным образом:

julia> 1.0

1.0

julia> 1.

1.0

julia> 0.5

0.5

julia> .5

0.5

julia> -1.23

–1.23

При необходимости можно использовать E-нотацию:

julia> 1e10

1.0e10

julia> 2.5e-4

0.00025

Все результаты из примеров выше имеют тип Float64 (тип по умолчанию). Если вы хотите ввести значение с типом Float32, то необходимо использовать f вместо e следующим образом:

julia> x = 0.5f0

0.5f0

julia> typeof(x)

Float32

julia> 2.5f-4

0.00025f0

Значение с типом Float16:

julia> Float16(4.)

Float16(4.0)

julia> 2*Float16(4.)

Float16(8.0)

Ноль с плавающей точкой

Числа с плавающей точкой имеют два нуля – положительный нуль и отрицательный нуль. Они равны друг другу, но имеют разные двоичные представления, что можно увидеть с помощью функции bitstring(), которая дает буквальное битовое представление примитивного типа:

julia> 0.0 == -0.0

true

julia> bitstring(0.0)

"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

julia> bitstring(-0.0)

"1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

Когда точности или размерности Float64 недостаточно, можно использовать специальный тип BigFloat:

julia> 2.0^100/4

3.1691265005705735e29

julia> BigFloat(2.0)^100/4

3.16912650057057350374175801344e+29

BigFloat знаковый тип арифметики произвольной точности, не назначаемый автоматически при вводе, а требующий явного объявления для использования.

Функции минимального и максимального значений для типов также применимы:

julia> (typemin(Float16),typemax(Float16))

(-Inf16, Inf16)

julia> (typemin(Float32),typemax(Float32))

(-Inf32, Inf32)

julia> (typemin(Float64),typemax(Float64))

(-Inf, Inf)

Результатом будут специальные значения – отрицательная и положительная бесконечности. Значения чисел превышающих числовой диапазон типа также будут заменены на специальные значения:

julia> 4.2^1000

Inf

julia> -4.2^1000

–Inf

Специальные значения

Существует три определенных стандартных значения с плавающей точкой, которые не соответствуют ни одной точке на линии вещественных чисел:

По стандарту IEEE 754, эти значения с плавающей точкой являются результатами определенных арифметических операций:

julia> 1/0

Inf

julia> -5/0

–Inf

julia> 0.000001/0

Inf

julia> 0/0

NaN

julia> 1/Inf

0.0

julia> 1/-Inf

–0.0

julia> -1/Inf

–0.0

julia> -1/-Inf

0.0

julia> 500 + Inf

Inf

julia> 500 – Inf

–Inf

julia> Inf + Inf

Inf

julia> -Inf -Inf

–Inf

julia> Inf – Inf

NaN

julia> Inf * Inf

Inf

julia> Inf*-Inf

–Inf

julia> -Inf * -Inf

Inf

julia> Inf / Inf

NaN

julia> Inf /-Inf

NaN

julia> -Inf /Inf

NaN

julia> -Inf /-Inf

NaN

julia> 0 * Inf

NaN

julia> 0 *-Inf

NaN

Тип NaN

NaN не равно, не меньше и не больше чего-либо, включая самого себя:

julia> NaN == NaN

false

julia> NaN != NaN

true

julia> NaN < NaN

false

julia> NaN > NaN

false

Это может вызвать проблемы, например при работе с массивами:

julia> [1 NaN] == [1 NaN]

false

Функции Julia для работы со специальными значениями:

Функция isequal() считает NaNs равными друг другу:

julia> isequal(NaN, NaN)

true

julia> isequal([1 NaN], [1 NaN])

true

julia> isequal(NaN, NaN32)

true

Функцию isequal() можно также использовать для различения знаковых нулей:

julia> -0.0 == 0.0

true

julia> isequal(-0.0, 0.0)

false

Машинный эпсилон

Большинство реальных чисел не могут быть точно представлены числами с плавающей точкой, поэтому для многих целей важно знать расстояние между двумя соседними представляемыми числами с плавающей точкой, которое часто называют машинным эпсилоном.

Функция eps() в Julia дает расстояние между 1.0 и следующим большим значением с плавающей точкой, при использовании в качестве аргумента типа числа с плавающей точкой:

julia> eps(Float16)

Float16(0.000977)

julia> eps(Float32)

1.1920929f-7

julia> eps(Float64)

2.220446049250313e-16

julia> eps(BigFloat)

1.727233711018888925077270372560079914223200072887256277004740694033718360632485e-77

Функция eps также может принимать в качестве аргумента значение с плавающей точкой, и выдавать абсолютную разницу между этим значением и следующим представимым значением с плавающей точкой. Другими словами, eps(x) выдает значение того же типа, что и x, такое, что x + eps(x) является следующим представимым значением с плавающей точкой, большим, чем x. Тип значения при этом также учитывается:

julia> eps(1.0)

2.220446049250313e-16

julia> eps(1000.)

1.1368683772161603e-13

julia> eps(1e-27)

1.793662034335766e-43

julia> eps(0.0)

5.0e-324

Расстояние между двумя соседними представляемыми числами с плавающей точкой не является постоянным, оно меньше для меньших значений и больше для больших значений. Другими словами, представляемые числа с плавающей запятой наиболее плотно расположены на линии вещественных чисел вблизи нуля и становятся более редкими экспоненциально по мере удаления от нуля. По определению, eps(1.0) – это то же самое, что eps(Float64), поскольку 1.0 – это 64-битное значение с плавающей точкой.

Если число не имеет точного представления с плавающей точкой, оно будет округлено до соответствующего представляемого значения. По умолчанию Julia использует режим округления, называемый RoundNearest. Он округляет до ближайшего целого числа, а ничьи округляются до ближайшего четного целого числа.