Глава 2. Математические основы машинного обучения

2.1. Линейная алгебра и векторные пространства

Линейная алгебра – это фундаментальная область математики, которая играет ключевую роль в машинном обучении. Она предоставляет инструменты для работы с векторами и матрицами, которые являются основными строительными блоками многих алгоритмов машинного обучения. В этой главе мы рассмотрим основные понятия линейной алгебры векторных пространств, необходимы понимания более сложных тем

Векторы и матрицы

Вектор – это математический объект, который имеет величину и направление. В машинном обучении векторы часто используются для представления данных, таких как изображения, тексты или аудиозаписи. Например, изображение можно представить вектор пикселей, где каждый пиксель определенное значение цвета.

Матрица – это таблица чисел, которая может быть использована для представления линейных преобразований между векторами. Матрицы широко используются в машинном обучении данных, таких как изображения, тексты или аудиозаписи, а также реализации алгоритмов, нейронные сети.

Векторные пространства

Векторное пространство – это набор векторов, который удовлетворяет определенным свойствам, таким как:

Закрытие относительно сложения: сумма двух векторов из пространства также находится в этом пространстве.

Закрытие относительно умножения на скаляр: произведение вектора из пространства скаляр также находится в этом пространстве.

Коммутативность и ассоциативность сложения: порядок, в котором складываются векторы, не влияет на результат.

Существование нулевого вектора: существует вектор, который не меняет результат при сложении с другим вектором.

Существование обратного вектора: для каждого вектора существует другой вектор, который при сложении с ним дает нулевой вектор.

Примером векторного пространства является набор всех возможных изображений размером 256x256 пикселей. Каждое изображение можно представить как вектор пикселей, и этих векторов образует векторное пространство.

Линейная независимость и базис

Линейная независимость – это свойство набора векторов, которое означает, что ни один из векторов не может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Например, если у нас есть два вектора, которые являются кратными друг другу, то они линейно независимы.

Базис – это набор линейно независимых векторов, который может быть использован для представления любого вектора из векторного пространства. является фундаментальным понятием в линейной алгебре, поскольку он позволяет нам представить векторы компактной и удобной форме.

Ортогональность и норма

Ортогональность – это свойство двух векторов, которое означает, что их скалярное произведение равно нулю. является важным понятием в линейной алгебре, поскольку она позволяет нам представить векторы виде линейных комбинаций ортогональных векторов.

Норма – это функция, которая присваивает каждому вектору неотрицательное число, которое представляет его "длину" или "величину". является важным понятием в линейной алгебре, поскольку она позволяет нам измерять расстояние между векторами и определять их взаимное положение.

Заключение

В этой главе мы рассмотрели основные понятия линейной алгебры и векторных пространств, которые необходимы для понимания более сложных тем в машинном обучении. Мы обсудили векторы матрицы, векторные пространства, линейную независимость базис, ортогональность норму. Эти являются фундаментальными многих алгоритмов машинного обучения, их понимание является необходимым работы области.

В следующей главе мы рассмотрим более сложные темы в линейной алгебре, такие как собственные значения и векторы, их применение машинном обучении.

2.2. Исчисление и оптимизация

В предыдущей главе мы познакомились с основными понятиями машинного обучения и узнали, как можно использовать данные для моделей. Однако, чтобы создать действительно эффективные модели, нам необходимо глубже погрузиться в мир математики понять, оптимизировать параметры наших

Исчисление: основа оптимизации

Исчисление – это раздел математики, который занимается изучением функций и их свойств. В машинном обучении мы используем исчисление для оптимизации параметров наших моделей. Оптимизация процесс нахождения лучших значений параметров, которые минимизируют или максимизируют заданную функцию.

Одним из ключевых понятий исчисления является понятие градиента. Градиент – это вектор, который показывает направление наибольшего роста функции в данной точке. В машинном обучении мы используем градиенты для оптимизации параметров наших моделей.

Методы оптимизации

Существует несколько методов оптимизации, которые используются в машинном обучении. Одним из наиболее распространенных является метод градиентного спуска. Этот основан на идее, что мы можем найти минимум функции, следуя градиенту функции.

Другим популярным методом оптимизации является метод градиентного спуска с моментом. Этот использует градиент функции и добавляет к нему момент, который помогает избежать локальных минимумов.

Оптимизация в машинном обучении

В машинном обучении мы используем оптимизацию для нахождения лучших значений параметров наших моделей. Мы можем использовать различные методы оптимизации, такие как градиентный спуск или с моментом, минимума функции потерь.

Функция потерь – это функция, которая измеряет разницу между прогнозами нашей модели и реальными значениями. Мы можем использовать различные функции потерь, такие как среднеквадратическая ошибка или кросс-энтропия, для оценки качества модели.

Пример оптимизации

Допустим, у нас есть модель линейной регрессии, которая предсказывает цену дома на основе его площади. Мы можем использовать метод градиентного спуска для нахождения лучших значений параметров нашей модели.

Сначала мы определяем функцию потерь, которая измеряет разницу между прогнозами нашей модели и реальными значениями. Затем вычисляем градиент функции потерь следуем ему для нахождения минимума.

Заключение

В этой главе мы познакомились с основными понятиями исчисления и оптимизации в машинном обучении. Мы узнали, как использовать градиенты для параметров наших моделей различные методы нахождения минимума функции потерь.

В следующей главе мы познакомимся с более сложными методами оптимизации и узнаем, как использовать их для решения реальных задач машинного обучения.

2.3. Вероятность и статистика

В предыдущих главах мы познакомились с основными понятиями машинного обучения и узнали, как оно может быть применено в различных областях. Однако, чтобы глубже понять принципы работы алгоритмов обучения, нам необходимо познакомиться двумя важными математическими дисциплинами: вероятностью статистикой.

Вероятность: основы

Вероятность – это мера неопределенности события. Она показывает, насколько вероятно, что событие произойдет. обычно обозначается буквой P и может принимать значения от 0 до 1. Если вероятность события равна 0, означает, невозможно. 1, обязательно

Например, если мы бросаем справедливый кубик, вероятность выпадения каждого числа равна 1/6, поскольку на кубике 6 граней, и каждая грань имеет одинаковую выпадения.

Статистика: основы

Статистика – это наука о сборе, анализе и интерпретации данных. Она помогает нам понять закономерности тенденции в данных сделать выводы популяции на основе выборки.