1.9 Экспериментальный подход к исследованию процессов переноса

Как следует из вышеизложенного, расчеты процессов микро- и макропереноса достаточно сложны, т. к. необходимо решать систему уравнений в частных производных, причем расчеты конвективного переноса массы, теплоты и количества движения значительно сложнее молекулярного переноса. Решение такой системы уравнений возможно в ряде частных случаев, а в общем случае возможно только численными методами и поэтому прибегают к использованию эмпирических зависимостей.

Так для расчета процессов теплопереноса используют эмпирический коэффициент теплоотдачи , равный отношению потока тепла q к разности температур Δt. Тогда тепловой поток равен:

Распределение температур от одной среды к другой в стационарной теплопередаче (постоянство во времени потока тепла q) через стенку толщиной δ с коэффициентом теплопроводности приведено на Рис. 1.5.

Применяя уравнение (1.29) для 1-й и 2-й среды, с учетом теплопроводности через стенку толщиной δ и общего коэффициента теплопередачи К, получим равенство выражений для стационарного теплового потока:

Рис. 1.5. Распределение температур при теплопередаче через стенку.

С учетом этих соотношений получим уравнение:

Физический смысл соотношения (1.31) заключается в том, что общее сопротивление теплопередачи через стенку 1/К равно сумме сопротивления переноса тепла от 1-й среды к стенке 1/α₁, термосопротивления стенки δ/ и сопротивления переноса тепла от стенки ко 2-й среде 1/α₂.

Аналогично для расчета процессов массопереноса используют эмпирические коэффициенты массопереноса К и массоотдачи .

Распределение концентраций вещества в стационарной массопередаче через поверхность раздела фаз от одной среды (газовая) к другой (жидкая) приведено на Рис. 1.6.

Коэффициенты массоотдачи для обеих сред могут быть найдены из выражения диффузионного потока, как выражения потока массы М на единицу поверхности:

Значения концентраций на границе x_s и у_s трудноопределимы, поэтому записывают другое выражение диффузионного потока для коэффициентов массопереноса для первой среды К₁ и для второй К₂ через соответственно равновесные концентрации x* и y*.

Рис. 1.6. Распределение концентраций при массопередаче через поверхность раздела фаз.

Обычно принимают линейный закон (m – константа равновесия, тангенс угла наклона линии равновесия) для определения равновесных концентраций на границе [6]:

Из очевидного равенства:

находим с учетом (1.32) и (1.33):

К₁ – коэффициент массопереноса по газовой фазе.

Физический смысл соотношения (1.36) заключается в том, что общее сопротивление процесса массопередачи через межфазную поверхность 1/К₁ равно сумме сопротивления переноса вещества от 1-й среды к межфазной поверхности 1/₁ и сопротивления переноса вещества от межфазной поверхности ко 2-й среде m/₂.

Аналогично можно получить закон сложения сопротивлений для коэффициента массопереноса по жидкой фазе:

Сложность расчета по уравнениям (1.33) – (1.36), особенно в системах с подвижной поверхностью раздела фаз, заключается в том, что часто точно неизвестна ни поверхность раздела фаз, ни значения концентраций на ней, ни коэффициенты массопереноса.

Эмпирические коэффициенты тепло- и массоотдачи определяют на основании экспериментов, обработка которых проводится в виде критериальных зависимостей (зависимости между безразмерными параметрами), полученных на основании теории подобия.

1.10 Основы теории подобия

Экспериментальные исследования более удобно и экономически выгоднее проводить не на больших объектах, а на их моделях. Затем с помощью теории подобия можно распространить полученные на моделях опытные закономерности на подобные объекты другого масштаба.

Исходной предпосылкой теории подобия служит то, что подобные явления описываются одинаковыми уравнениями. Выше были рассмотрены общие уравнения переноса массы, тепла и количества движения. На практике приходится иметь дело с конкретными объектами моделирования и поэтому необходимо сформулировать условия, выделяющие рассматриваемое явление из общего класса явлений (условия однозначности). К ним относятся геометрическая форма и размеры системы (трубы, аппарата и т. д.), физические свойства ее (плотность, вязкость среды и др.), начальные условия (начальная скорость, температура и т. д.) и граничные условия, характеризующие свойства системы на ее границах.

Соотношения между сходственными величинами образца и модели называются константами (масштабами) подобия. Так для геометрического подобия – подобия геометрических размеров образца (l’ – длина, b’– ширина, h’– высота) и соответствующих размеров модели – l”, b”, h” получим константу геометрического подобия

Из этого выражения можно записать инварианты (симплексы) подобия, записав отношения параметров для образца и для модели, например:

Для подобия физических величин имеем константы подобия, например для кинематической вязкости и плотности:

При моделировании процессов, связанных с изменением свойств системы во времени (нестационарных) должно соблюдаться временное подобие, тогда константа временного подобия:

Константы кинетического подобия включают отношение скоростей u и ускорений a в сходственных точках объекта и модели:

Следует отметить, что подобие кинетическое (подобие планов скоростей и ускорений) может иметь место только при наличии подобия геометрического.

Динамическое подобие описывается соотношениями сходственных сил, энергий и масс для модели и объекта, причем динамическое подобие может иметь место только при наличии подобия геометрического и кинетического.

1.11 Подобное преобразование дифференциальных уравнений переноса

Перенос количества движения. Рассмотрим динамическое подобие на примере подобного преобразования уравнения Навье-Стокса (1.10) для одномерного потока (перенос количества движения). В этом случае скорость потока .

Запишем это уравнение для объекта:

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.42) и (1.43) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Домножив все члены уравнения (1.44) на kl /kv2, получим безразмерные соотношения:

Эти соотношения после подстановки констант подобия дают выражения соответствующих критериев подобия Фруда, Эйлера, Рейнольдса и гомохнонности. Так для критерия Фруда .

Опуская индексы, получим аналогично и другие критерии:

.

Для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно одинаковы. Это положение определяет содержание 1-й теоремы подобия.

Так как члены уравнения Навье-Стокса представляют собой сумму удельных сил тяжести, давления, вязкости и инерции, то сравнивая их с выражениями критериев, можно сделать вывод, что критерий Фруда представляет собой отношение силы инерции к силе тяжести, критерий Эйлера – отношение силы давления к силе инерции, критерий Рейнольдса – отношение силы инерции к силе вязкости (учитывает режим движения) и критерий гомохронности – отношение инерционных сил модели и объекта (учитывает нестационарность процесса).

Обычно критерий Эйлера является определяющим и математическое описание явления переноса количества движения в критериальном виде с учетом геометрического критерия Г имеет вид:

Таким образом, решение дифференциальных уравнений описывающих процесс можно представить в виде зависимостями между критериями подобия. Это положение известно как 2-я теорема подобия.

Выше было сказано, что для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно равны, но тогда согласно зависимости (1.46) и определяющие критерии должны быть равны. Таким образом, для обеспечения подобия достаточно равенства определяющих критериев модели и объекта. Это положение определяет содержание 3-й теоремы подобия.

Положения, устанавливаемые тремя теоремами подобия, справедливы для любого вида переноса. Они используются как для постановки экспериментов, так и для математической их обработки.

Теплоперенос. Критерии теплопереноса выводятся аналогично выводу критериев переноса количества движения. Рассмотрим подобное преобразование уравнения Фурье-Кирхгофа (1.27) для одномерного теплопереноса, когда t = f (x, τ) в отсутствии источников тепла для объекта моделирования (индексы опустим):

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.47) и (1.48) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Из первого равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – критерий Фурье, который характеризует изменение теплопереноса теплопроводностью во времени:

Из второго равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – критерий Пекле, который представляет собой отношение теплопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет теплопроводности (молекулярный):

Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, который может быть рассмотрен как отношение скоростей переноса количества движения конвективного и молекулярного.

Поскольку на конвективный теплоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую теплоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера обычно не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для теплопереноса.

Так как в критерии Fr и Re входит скорость, используется их комбинация – критерий Галилея, не содержащий скорости:

или критерий Архимеда, включающий отношение плотности одной среды и разности плотностей двух сред:

Если разность плотностей вызвана термическим расширением среды (_T – коэффициент термического расширения), то:

,

где Т – абсолютная температура.

После подстановки этого соотношения в критерий Архимеда получим критерий Грасгофа:

Для газов ,

тогда критерий Грасгофа примет вид:

При сочетании критерия Ре_т с критерием Re получим критерий Прандтля, характеризующий теплофизические свойства среды или соотношение полей скоростей и температур:

Если граничным условием теплопереноса является линейность теплового потока – уравнение (1.23) тогда в сочетании с уравнением (1.29) получим:

Из этого соотношения, переходя к размерным величинам, получим критерий Нуссельта, характеризующий подобие граничных условий:

Критерий Нуссельта рассматривают также как безразмерный коэффициент теплопереноса, поэтому он является определяющим. С учетом рассмотренных критериев перенос тепла можно рассматривать в виде следующей критериальной зависимости:

Для стационарного теплопереноса из зависимости (1.60) исключаются критерии. Но и Fo_т, содержащие время.

Критерий Nu является наиболее удобной величиной для расчета молекулярного переноса или переноса в ламинарном движении [10]. В случае развитой турбулентности более удобным оказывается использование критерия Стентона:

Тогда в зависимости (1.61) определяющим критерием вместо Nu будет критерий St_т.

Массоперенос. Критерии массопереноса и общая критериальная зависимость выводятся аналогично теплопереносу. Для этого рассмотрим подобное преобразование дифференциального уравнения массопереноса (1.22). Для одномерного потока, когда С = f (x, τ) в отсутствии источников для объекта моделирования запишем (индексы опущены):

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.62) и (1.63) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Из первого равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – диффузионный критерий Фурье, который характеризует изменение молекулярного массопереноса во времени

Из второго равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – диффузионный критерий Пекле, который представляет собой отношение массопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет молекулярной диффузии (молекулярный)

Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, и тепловому критерию Пекле.

Поскольку на конвективный массоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую массоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для массопереноса.