На практике это означает, например, следующее: поскольку скорость ветра у земной поверхности является векторным полем, теорема гарантирует, что на планете обязательно должно быть место, где ветер не дует.
Цитаты из книги «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним»
162
Возьмите две копии одной картинки. Одну из них разгладьте на столе, а вторую хорошенько помните (не разрывая) и положите сверху. Неоспоримый факт: как минимум одна точка изображения на мятой копии окажется непосредственно над соответствующей точкой на разглаженном листе. (Строго говоря, расчеты, объясняющие этот феномен, оперируют непрерывными величинами, а материя реального мира имеет зернистую природу, поскольку состоит из атомов и прочего, – и тем не менее получающийся результат служит весьма неплохим приближением.)
сколько бы вы ни мешали воду в стакане, как минимум одна из молекул после перемешивания окажется на том же месте, что и до него.
Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до тре
Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса.
Ни один математик, будь он хоть семи пядей во лбу, не в силах постичь всю безмерность чисел, порождаемых рекурсивными методами. Что, впрочем, нисколько не мешает математикам изобретать все более и более эффективные способы, генерирующие большие числа.
Классический пример рекурсии в технике – обратная связь, когда выходной сигнал системы подается на ее вход. С этой проблемой нередко приходится сталкиваться, например, рок-музыкантам, если микрофон на сцене расположен перед акустической системой, к которой он подключен. Звук, принимаемый микрофоном, усиливается и подается на динамик системы, откуда вновь поступает на микрофон, и так продолжается до тех пор, пока – довольно скоро – из-за усиления при каждом прохождении цикла звук не превратится в знакомый пронзительный свист. Рекурсия в математике работает примерно так же, только вместо электронной системы “микрофон – усилитель – динамик” здесь функция, которая обращается к самой себе, так что ее выходное значение подается опять на вход. Итак, мы достигли ступеньки f1(n) на лестнице быстрорастущей иерархии. Следующая ступенька, f2(n), подставляет функцию f1(n) саму в себя n раз. Ее можно записать как f2(n) = f1(f1(… f1(n))) = n × 2 × 2 × 2 × … × 2, где количество двоек равно n. Это то же самое, что n × 2n, где 2n – показательная функция. Если подставить вместо n, скажем, 100, то мы получим f2(100) = 100 × 2100 = = 126 765 060 022 822 940 149 670 320 537 600, или приблизительно 127 миллиардов миллиардов триллионов. Будь это сумма на банковском счете, такое состояние даже Биллу Гейтсу могло бы только во сне присниться, а ведь она гораздо меньше, чем некоторые из известных чисел, что нам уже встречались, таких как гугол. Меньше она и суммы самого крупного в истории иска о компенсации ущерба. Иск на 2 ундециллиона (то есть два триллиона триллионов триллионов) долларов был подан 11 апреля 2014 года жителем Манхэттена Энтоном Пьюрисимой, утверждавшим, что в городском автобусе его покусала “больная бешенством” собака. В бессвязном исковом заявлении на 22 страницы, написанном от руки, к которому была приложена фотография несуразно огромной повязки на среднем пальце, Пьюрисима требовал от управления городского транспорта Нью-Йорка, аэропорта Ла-Гуардия, кафе Au Bon Pain (где его якобы регулярно обсчитывали при покупке кофе), университетского медицинского центра города Хобокена и сотен других организаций выплаты компенсации на общую сумму, превышающую всю денежную массу на планете. В мае 2017 года иск был отклонен “за недостаточностью правовых и фактических оснований”. Будем надеяться, что познания Пьюрисимы в математике не распространяются на быстрорастущую иерархию – иначе за этим иском могут последовать другие, на еще бо́льшие суммы (раньше он уже подавал в суд на несколько крупных банков, Международный музыкальный фонд Лан Лана и Китайскую Народную Республику).
Искусство, музыка, язык, вычислительные системы, математика – рекурсия встречается во всех этих областях; она многолика, но это всегда нечто, что возвращается к самому себе.
Функция в математике – это просто соответствие, некое правило, превращающее одно значение, входное, в другое, выходное.
О проекте
О подписке