Цитаты из книги «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним»

увидеть “ката” и “ана” (так он назвал два противоположных направления, существующие в четвертом измерении)?

Излагая в начале статьи математическую основу своей теории, Цёлльнер сделал отсылку к историческому докладу Бернхарда Римана “О гипотезах, лежащих в основании геометрии”, опубликованному в 1868 году, спустя два года после смерти автора и через 14 лет после того, как он был впервые прочитан Риманом в виде лекции, когда тот был еще студентом Гёттингенского университета. Риман развил идею, впервые высказанную его научным руководителем в Гёттингене, великим Карлом Гауссом, о том, что трехмерное пространство может иметь кривизну (точно так же как двумерная поверхность, скажем, сфера), и обобщил понятие кривизны на пространства произвольной размерности. Результат, известный как эллиптическая, или риманова, геометрия, позднее лег в основу общей теории относительности Эйнштейна.

мы сами в реальности – четырехмерные существа, “наши же последовательные состояния… соответствуют… прохождению их через трехмерное пространство, которым ограничено наше сознание”[9].

А четырьмя годами раньше Хинтон написал свою статью об альтернативных пространствах под названием “Что такое четвертое измерение?”, в которой выдвинул идею, что частицы, движущиеся в трехмерном пространстве, могут быть представлены как последовательные поперечные сечения прямых и кривых линий, существующих в четвертом измерении.

Четырехмерные эквиваленты платоновых тел – это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и “двойственный” ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани ребрами, а ребра гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа – стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник с 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково – в каждом по три.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого – правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр.

Немецкий физик Генрих Герц, первым убедительно доказавший существование электромагнитных волн, писал: “Невозможно избавиться от ощущения, что математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено”[3].

“Многие предлагают использовать математику для общения с инопланетянами”, – прокомментировал ситуацию исследователь из Института поиска внеземного разума (SETI) Сет Шостак. Более того, голландский математик Ханс Фройденталь даже разработал для этого целый язык (Lincos). “Однако, – продолжает Шостак, – я лично считаю, что на языке математики трудно будет описать такие понятия, как любовь или демократия”.

“Я люблю математику, – заметил Бертран Рассел, – за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что ее ничего, в сущности, не связывает ни с нашей планетой, ни со всей этой случайной вселенной”.

Математика существует – в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора – она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии – их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей – в нашем случае математических объектов – занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа.