Цитаты из книги «Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним»

Но до начала XX века большинство физиков считало, что, пусть мы и не можем знать всех деталей происходящего в физической вселенной, мы в принципе способны познать ее настолько, насколько захотим. Имея достаточно информации, верили они, мы можем с помощью уравнений Ньютона и Максвелла рассчитать ход любых событий с необходимым нам уровнем точности. Но появление квантовой механики положило конец этим представлениям. Неопределенность, как выяснилось, лежит в самой основе квантовой теории: случайность в субатомном мире – неизбежная объективная реальность.

Большинство физических систем гораздо сложнее падающего бутерброда. К тому же некоторые еще и хаотичны, а это значит, что даже незначительное вмешательство в начальные условия может привести к последствиям огромного масштаба на более позднем этапе. Одна из таких систем – погода. До появления современных метеопрогнозов оставалось лишь гадать, что день грядущий нам готовит. Метеоспутники, чувствительные наземные приборы и мощные компьютеры совершили настоящую революцию в метеорологии, позволив давать точный прогноз на период до 7–10 дней. Но при попытке заглянуть дальше даже самые передовые методики и высокотехнологичное оборудование наталкиваются на непреодолимый барьер – сложность и хаотичность системы, включая так называемый эффект бабочки: представление о том, что ничтожное колебание воздуха, вызванное взмахом крыльев бабочки, способно, постепенно усиливаясь, превратиться в страшный ураган.

конечно, может произойти только в лаборатории или в школьной столовой), то вероятность его приземления маслом вниз составляет 50 %. Но вот если его смахивают со стола или он соскальзывает с тарелки, тогда он действительно чаще падает намазанной стороной вниз. Причина проста: случайное падение обычно происходит с высоты примерно уровня пояса плюс-минус сантиметров тридцать и у бутерброда как раз достаточно времени, чтобы сделать пол-оборота, поэтому если полет начинается из традиционного положения “маслом вверх”, то закончится он, скорее всего, жирным пятном на полу.

Вращение подброшенной монеты мы считаем достаточно непредсказуемым, чтобы использовать этот метод для выбора одного из двух существующих решений. На деле же степень случайности зависит от того, какой информацией мы располагаем. Если бы нам были известны сила и угол броска, скорость вращения монеты, сопротивление воздуха и так далее, мы сумели бы (теоретически) точно предсказать, какой стороной вверх она упадет. То же касается и падения бутерброда с маслом, разве что в этом случае у нас имеются еще и научные данные, подтверждающие точку зрения пессимистов – чаще он падает маслом вниз. Эксперименты показали, что если бутерброд подбросить вверх (такое

Кстати, стоит упомянуть любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу – сумму бесконечного ряда членов, – с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака. (Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли – Боруэйна – Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.) На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени – меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли – Боруэйна – Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.

знаем, что это за знак. Но в каком смысле и в каком виде он существует до того, как появится в памяти трудяги-компьютера в результате невероятно долгого вычисления – вычисления, которое пока еще не производилось?

А что насчет остальных его знаков, тех, которые еще не вычислены? Если исходить из того, что пи нормально по основанию 10, они пока остаются для нас, по сути, статистически случайными. Другими словами, если вас попросят написать случайную цепочку из тысячи цифр, вы можете, предварительно собрав компьютер, способный вычислить на 1000 знаков числа пи больше, чем известно сейчас, использовать полученные новые знаки в качестве случайной цепочки. Еще одну случайную цепочку? Пожалуйста – вычисляем еще тысячу (ранее неизвестных) знаков. В связи с этим возникает любопытный философский вопрос о природе математических явлений: насколько реальны те десятичные знаки числа пи, до которых мы еще не добрались? Трудно ведь утверждать, что, скажем, септиллионный[12] знак числа пи не существует или что у него нет конкретного постоянного значения, даже если мы не

На момент написания этой книги известно 22 459 157 718 361, или чуть больше 22 триллионов, знаков числа пи. В будущем мы, конечно, сможем вычислить и больше знаков[11], но те, что нам известны, уже не изменятся никогда, сколько бы раз мы ни производили вычисление. Известные знаки числа пи – часть застывшей реальности математической вселенной, а потому не могут быть случайными.

или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.

Это может показаться парадоксальным и нелогичным, но причина в том, что мы пытаемся примерить задачу на себя. Естественно, крайне маловероятно, что именно вы выиграете джекпот два раза. Но если оценивать шансы того, что кому-либо из играющих так повезет, то вероятность такого выигрыша нужно умножить на количество участников лотереи (что значительно увеличивает шансы), а также на число способов, которыми можно выиграть лотерею дважды (оно приблизительно равно количеству раз, что участники сыграли в лотерею, возведенному в квадрат и деленному пополам). Если учесть все эти факторы, шансы того, что фортуна улыбнется кому-то дважды, начинают выглядеть довольно неплохо. Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507