2. Bölüm
CANTOR İLE SAYMAK

Galileo Galilei (1564-1642), gezegenimizin Güneş’in etrafında döndüğüne dair kâfir inancından dolayı İtalya’da ev hapsindeyken Galileo paradoksu olarak bilinen hoş bir bulmaca ortaya atmıştır.

Bulmacaya göre bazı doğal sayılar mükemmel kareyken (bkz. Sayfa 15) çoğu değildir ve bu yüzden de kare olmayanların sayısı karelerden daha fazla olmalıdır. Ancak her doğal sayının mükemmel bir kare oluşturmak üzere karesi alınabilir. Dolayısıyla karelerin sayısı, doğal sayıların sayısına eşit olmalıdır. Bu da bir paradokstur; yani aynı anda ikisinin birden doğru olamayacağı iki mantıklı önerme sözkonusudur.

Daha önce de belirttiğim gibi sayı kuramcıları sonsuzluğun doğası ve onun tuhaf aritmetiğini ele alırlar. Sonsuz Matematik Hayvanat Bahçesi’ni gözden geçirirken kullandığımız şey olan kümeler kuramı Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından icat edilmiştir. Aslında farklı türlerde sonsuzluk olduğunu bulmuştur. Kümelerin niceliği üzerinde çalışmıştır. Bu da kümenin kaç tane üyesi olduğu anlamına gelir. Örneğin, A kümesini Güneş sisteminin gezegenleri olarak tanımlarsam A kümesinin niceliği sekiz olur (Plüton’un neden artık bir gezegen olmadığına dair daha fazla bilgi için bkz. sayfa 132).

Cantor, sonsuz kümeleri de incelemiştir. Doğal sayılar sonsuzdur ancak Cantor bunların sayılabilir sonsuz olduğunu söyler; çünkü birden yukarı doğru saydıkça sonsuza doğru hareket eder ve ilerleme kaydederiz. Asla sonsuzluğa varamayız ancak ona yaklaşabiliriz. Cantor doğal sayılar kümesinin bir alef sıfır ya da (alef, İbrani alfabesinin ilk harfidir) niceliğine sahip olduğunu belirtmiştir. İlerleme kaydettiğiniz diğer her sayı kümesinin niceliği de olur. Bu sebeple doğal sayılara negatif tam sayıları eklersem, onları da sayarak ilerleme kaydedeceğimden tam sayılar kümesi de niceliğine sahip olur.

Şayet kümem sıfırdan bire kadar tüm rasyonel sayılar olsaydı sıfırdan başlayabilir ve bire kadar giden bütün kesirleri ele almaya çalışabilirdim. Bu kesirler için tüm olası paydaları ele alırsam yine doğal sayıları elde ederim. Kesirlerin payları da ayrıca doğal sayıların çeşitli kısımları olacaktı ve sıfırdan bire kadar olan rasyonel sayılar bile niceliğine sahip olurdu. Bu durum bütün rasyonel sayılar kümesinin de niceliğine sahip olduğunu gösterecek biçimde genişletilebilir.

Galileo’nun paradoksuna geri dönecek olursak doğal sayılar kümesi ile mükemmel kare sayılar kümesinin her ikisinin de niceliğine sahip olduğunu ve bu yüzden de aslında aynı büyüklükte olduklarını anlayabiliriz. Artık durum bir paradoks değildir. Teşekkürler Cantor!

Gerçekte niceliğine sahip kümeler, her ne kadar bu liste sonsuz derecede uzun olsa da, düzenli biçimde listelenebilir. Cantor, irrasyonel sayıları incelediğinde düzenli olarak listelenemeyen kümelerin olduğunu akıl edebildi. Onun köşegen argümanı şayet tüm irrasyonel sayıları ondalık sayı olarak yazarsanız, yazdığınız sayılardan yeni bir irrasyonel sayı yaratabileceğinizi göstermektedir. Bunu kümeye eklediğinizde yeni kümeden yeni bir irrasyonel yaratabilirsiniz. Bu döngü asla tüm irrasyonel sayıları düzenli biçimde listeleyemeyeceğiniz anlamına gelir çünkü sürekli hariç bırakılanlar olduğunu keşfedersiniz. Cantor bu gibi kümelerin sayılamayacak derecede sonsuz olduklarını ve niceliklerinin de olduğunu belirtmiştir.

Cantor ve onu takip eden çoğu matematikçi ile arasındaki bağıntıyı anlamak için çok vakit harcamışlardır. Cantor, ile arasında bir niceliğe sahip hiçbir kümenin var olmadığını belirten süreklilik hipotezini ileri sürmüştür; yani sayılabilen ve sayılamayan kümeler arasında hiçbir şey yoktur. Bu durum o zamandan beri süreklilik hipotezinin kümeler teorisi ile kanıtlanamadığını ya da çürütülemediğini göstermektedir.

Burada ispatlanabilen şey ise Cantor’un o zamana dek sadece düşünürler ve tanrıbilimciler tarafından ciddiye alınan bir kavramı (sonsuzluk) böylesi bir noktaya taşıdığı ve matematiğin yegâne temeli hakkında yeni bir düşünceyi harekete geçirmiş olmasıdır. Ne var ki düşüncelerinin yol açtığı anlaşmazlıklar ve tartışmalar Cantor’a büyük sıkıntılar vermiş ve hayatının ikinci yarısında başına bela olan bunalım krizlerine neden olmuştur. Süreklilik hipotezinin Hilbert problemlerinin arasına dahil edilmesi (bkz. sayfa 16), umuyoruz ki ne kadar büyük bir başarı elde ettiğini görmesini sağlamıştır. Sonsuzlukların farklı olabilecekleri düşüncesi bile hayret uyandırıcı bir şeydir doğrusu.

3. Bölüm
ARİTMETİK

Saymayı bildiğinizi düşünerek devam edeceğim. Hayatım boyunca sayı saymayı bilmeyen bir yetişkinle hiç karşılaşmadım. Matematiğin ilk kısmını çoğunlukla daha okula gitmeden önce öğreniriz. Küçük yaştaki pek çok çocuk, daha sayıların ne anlama geldiğini öğrenmeden önce papağan gibi birden ona kadar saymayı öğrenir.

Matematiği inceleme yollarından birinin hedeflenen sonuçlara ulaşmak için kullanılabilecek belli başlı ilkeleri anlamaya dayandığı söylenebilir. Önce anlamak sonra da öğrenme süreci gelir. Buna rağmen çoğumuz anlama kısmına neredeyse hiç ulaşamaz (ya da böyle bir fırsatımız olmaz) ve sadece öğrenme süreciyle baş başa kalırız. Bu durumda ortaya çıkan asıl sorun, herhangi bir beceride olduğu gibi, ihmal ettikçe bilgilerin unutulmasıdır. İhmalle birlikte anlama süreci de zayıflar. Matematik hakkında sevdiğim şey, kuzey yarımkürede küçük bir adada yaşayan sıradan bir insan olarak benim, kökeni binlerce yıl, halk ve kültür öncesine dayanan bir akıl piramidinin tepesinde bulunuyor olmamdır. Matematik piramidinin benden çok daha yükseklerinde bulunan birçok insan var; ancak ben kariyerimi diğer insanların kendi piramitlerini kurmasına yardım etmekle geçirmeyi seçtim. Deneyimlerimden hareketle gerçekleri, algoritmaları ve işlemleri ezberlemede ne kadar iyi olduğunuzun önemli olmadığını biliyorum. Gerçek manada anlamadığınız sürece, bir noktada piramidiniz yıkılmaya mahkûmdur.

Aritmetiğin akademik yöntemlerine girmeden önce + ve – sembollerinin iki yönlü doğasına kısaca bir göz atmak istiyorum. Bu semboller Batı dünyasına ilk kez Almanya’da, 1400’lerin sonlarından itibaren takdim edilmiştir. Johannes Widmann (yaklaşık 1460-98) 1489 yılında bu sembollerin kullanıldığı en eski İngilizce yazılı kaynak olan Neat and Nimble Calculation in All Trades (Tüm Ticaret İşlerindeki Zekice ve Hünerli Hesaplamalar) başlıklı kitabı yazdı.

En başından itibaren sembollerin her birinin insanların birbirinden ayırmakta zorlandığı iki anlamı vardı. Sembollerin ikisi de toplamak ya da çıkarmak üzere bir işlemi belirtebilir veyahut pozitif ile negatifi göstermek adına bir işaret olabilir. Semboller bir yandan komut ve tanımlama işlevi görürken bir yandan da bir eylemi ve ismi belirtir. Örneğin +3, hem “3 ekleyin,” hem de “pozitif 3” anlamına gelebilir. O halde hangi anlamda kullanıldığını nereden bileceğiz?

Matematik eğitiminde zihin aritmetiği yapmaya ya da “büyüktür” ve “küçüktür” kavramlarını anlamaya yardımcı olmak üzere sayı doğrusu kavramını kullanmak oldukça yaygındır. Sık sık öğrencilerime sayı doğrularını yatay mı yoksa dikey mi gördüklerini ve sayıların hangi doğrultuda sıralandıklarını sorarım. Eminim bu konu üzerine de çok ilginç araştırmalar yapılabilir. Yaptığım benzetme adına burada kullanacağımız sayı doğrusu tıpkı bir termometre gibi dikey olacaktır.

Burada + ve – işaretlerinin bize yanındaki sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu gösterecek biçimde tanımlayıcı olarak kullanıldıklarını görebiliriz. Genellikle pozitif sayıların başında tanımlayıcı olarak + işaretini kullanmayız ancak burada sayı doğrusunun pozitif kısmını vurgulamak üzere kullandım. Sıfır ise görebileceğimiz üzere doğrunun tam ortasındadır ve ne pozitif ne de negatiftir.

Şimdi matematiksel bir sıcak hava balonunun pilotu olduğunuzu hayal edin. Balonun irtifasını değiştirmenin iki yolu vardır: balondaki ısının miktarını değiştirmek ve balondaki kum torbalarının miktarını değiştirmek. Balonun yukarıya doğru çıkmasını sağladığı için ısıyı pozitif olarak ele alacağız. Balondaki ısı miktarını da iki biçimde değiştirebilirsiniz. Brülörü kullanarak daha fazla ısı ekleyebilir ya da balonun tepesine bir delik açıp sıcak havanın dışarı çıkmasına izin vererek ısıyı azaltabilirsiniz. Balonun aşağı doğru inmesine neden olduğu için kum torbalarını da negatif olarak ele alacağız. Kum torbalarının miktarını da birazını balonun kenarından aşağı atarak ya da arkadaşınızın bir drone ile sepetinize biraz daha eklemesiyle değiştirebilirsiniz. Bu dört önerinin her birini matematiksel bir işlemle ifade edebiliriz:

Hint-Arap Rakamları

Sayıları yazma biçimimiz Hint-Arap sistemi olarak adlandırılır çünkü bu iki kültürden de birkaç önemli buluşu birleştirmektedir. Her bir basamağın bir öncekine göre on katı değerde olduğu ondalık bir sisteme dayanan sayma sistemini MS 500 yılında ilk kez kullananlar arasında Aryabhata (475-550) isimli Hintli bir gökbilimci bulunuyordu. Bir başka Hintli gökbilimci Brahmagupta ise sayılar için dokuz sembol ve boş basamağı temsil etmek için de bir nokta kullanarak (ki daha sonra bu sembol sıfır için kullandığımız 0’a dönüşmüştür) bu sistemi güzelleştirmiştir.

Yeni sistemin hesaplamada sağladığı verimlilik, sistemi popüler kılmış ve dünyanın her yerine yayılmasına neden olmuştur. Dokuzuncu yüzyıla varmadan sistem, “algoritma” sözcüğünü borçlu olduğumuz ve bu konu üzerine ilmi bir eser yazan Muhammed el Hârizmî (yaklaşık 780-850) isimli bir Arap matematikçiye ulaştı. Çalışma daha sonra Latinceye çevrildi ve bu da Batı dünyasının ilk kez bu sayılara erişmesine imkân sağladı.

Ne yazık ki sistem Avrupa’da çok fazla ilgi görmedi. Arap dünyasında eğitim gören ve ayrıca Fibonacci olarak da bilinen Pisa’lı Leonardo (yaklaşık 1175-1240) bu konuyu 1202 yılında kitabı Liber abaci’de kullandı. Kitap, esnaf ve matematikçileri abaküs kullanmayı bırakıp Hint-Arap sisteminin potansiyel gücünü kabul etmeye ikna etme konusunda etkili oldu. Ancak o da Latince yazılmış olduğundan birçok kişi anlamıyordu. 1522 yılında, Adam Ries (1492-1559) bu rakamların nasıl kullanılacağını izah ettiği bir kitabı anadilinde (Almanca) kaleme aldı. Bu da sonunda okuryazar olan ancak klasik eğitim almamış halkın sistemden yararlanmasını mümkün kıldı.

Tablonun son sırası çoğu insanın kabul ettiği (ya da ezbere öğrendiği) ancak nedenini gerçekten anlamadığı kısımdır. Neyse ki balon benzetmesinin biraz yardımı dokunacaktır.

Artık balonumuzun yukarı ve aşağı nasıl hareket ettirildiğini, yani matematikçilerin işlem dediği şeyi aydınlığa kavuşturmuş oluyoruz. Şayet irtifamızı, yani sayı doğrusunda konumumuzu, hesaplamak istiyorsak bir hesaplama yapmamız gerekir. Hesaplamadaki ilk sayı mevcut irtifamızı ve hesaplamanın geri kalanı ise hangi eylemin yerine getirileceğini göstermektedir. Örneğin, – 4 +3’ü şu şekilde yorumlayabiliriz:

Burada balon sayı doğrusunda üç sıra yükselip – 4’ten – 1’e çıkacaktır¹. Bu yüzden – 4 + 3 = – 1 olur.

İçinde bir sürü negatifin bulunduğu birazcık daha hileli bir örnek – 1 – – 6 olacaktır ve şu şekilde yorumlayabiliriz:

Altı kum torbasının sepetin kenarından atılması balonun altı basamak yükselmesine neden olur, böylece – 1 – – 6 = 5.

Mademki balonumuzun ne zaman yükselip ne zaman alçalacağını biliyoruz artık daha karmaşık aritmetik hesaplara ve dört işlemin geri kalanına bakabiliriz.