Свойства 3-мерной сферы напоминают свойства обычной 2-мерной сферы – поверхности шара. Представим путешественника, движущегося по меридиану от Северного полюса к Южному. Миновав Южный полюс, путешественник начнет возвращаться к Северному, но с другой стороны. Точно так же путешественник в «замкнутом мире» 3-мерной сферы, удаляясь от Земли, достигнет полюса мира на 3-мерной сфере, а затем станет возвращаться к Земле, но с другой стороны.
Но что такое полюс (или противоположная точка по отношению к данной) на поверхности Земли – ясно. А что такое полюс 3-мерной сферы? Вот и начнем объяснения с поверхности Земли. Пусть наблюдатель помещен на Северном полюсе Земли. Пусть радиусами (отрезками меридиана, исходящими из полюса) все большей длины он прочерчивает одну за другой концентрические окружности (данной широты). Эти окружности сначала будут увеличиваться, пока не достигнут максимума на экваторе. Затем, с увеличением радиуса, длины этих окружностей начнут уменьшаться! Наконец, когда длина радиуса достигнет полной длины меридиана, длина окружности превратится в ноль! Мы достигнем Южного полюса – противоположного Северному!
Аналогично описывается 3-мерная сфера! Определяя некоторую точку на 3-сфере, как Исходный полюс, и удаляясь от него, исследователь будет описывать концентрические 2-сферы. Сначала площади этих сфер будут увеличиваться, пока не достигнут наибольшей по площади с центром в Исходном полюсе. Эту сферу можно назвать экватором замкнутого 3-мерного мира по отношению к Исходному полюсу. Затем, продвигаясь за экватор, исследователь обнаружит уменьшение (!) площадей 2-сфер. Продвигаясь еще дальше, он максимально удалится от Исходного полюса – там площадь 2-сферы обратится в ноль (!). Это как раз и означает, что он достиг Противоположного полюса.