Содержание:

1. Числовая окружность.

2. Полярные и декартовы координаты; и связь между ними.

3. Примеры на вычисление по окружности координат точек.

4. Знаки функции в четвертях.

5. Числовые промежутки на окружности.

6. Синус и косинус, тангенс и котангенс, на числовой окружности.

7. Первоначальные тригонометрические формулы.

8. Формулы, полученные из основного тригонометрического тождества.

9. Формулы двойного аргумента.

10. Формулы понижения степени.

11. Формулы суммы и разности углов, с разными аргументами.

12. Формулы суммы и разности функций, с разными аргументами.

13. Формулы произведения функции, с разными аргументами.

14. Тангенс и котангенс, суммы и разности углов, с разными аргументами.

15. Сумма и разность тангенсов и котангенсов с разными аргументами.

16. Произведение тангенсов и котангенсов, с разными аргументами.

17. Формулы половинного аргумента.

17. Формулы перехода к половинному аргументу тангенса.

18. Формулы перехода к половинному аргументу котангенса.

19. Сумма и разность тангенса и котангенса, с одинаковыми аргументами.

20. Формулы кратных углов.

21. Формулы приведения.

22. Обратные тригонометрические функции.

23. Свойства обратных тригонометрических функций.

24. Нахождение значений обратных тригонометрических функций.

25. Чётность и нечётность обратных тригонометрических функций.

26. Область определения и область значения функции.

28. Тригонометрическая окружность для решения простых уравнений.

29. Решение простых тригонометрических уравнений с синусом и с косинусом с табличным значением, алгоритм.

30. Примеры решения простых тригонометрических уравнений.

31. Правила и запоминалки для решения простых тригонометрических уравнений.

32. Решение простых тригонометрических неравенств, алгоритм.

33. Примеры простых тригонометрических неравенств на синус и косинус.

34. Алгоритм решения неравенства с не табличными значениями синуса и косинуса.

35. Примеры простых тригонометрических неравенств на синус и косинус с не табличными значениями.

36. Решение неравенств с тангенсом и с котангенсом с табличными значениями, алгоритм.

37. Примеры простых тригонометрических неравенств на тангенс и котангенс с табличными значениями.

38. Решение неравенств с тангенсом и с котангенсом с не табличными значениями, алгоритм.

39. Примеры неравенств с тангенсом и с котангенсом с не табличными значениями.

Тригонометрия для начинающих. Тригонометрия для чайников.

По учебнику Мордковича, десятый класс.

1. Числовая окружность.

В школе тригонометрию начинают изучать с числовой окружности.

Она даётся просто, как данная. И никто не понимает, зачем она нужна и как она получается.

Для того чтобы понять, для чего нужна числовая окружность и как она получается. Нужно хотя бы схематично изобразить; графики тригонометрических функций, с основными точками пересечения их с осью x; и максимумами и минимумами функций, если они есть.

У синуса и косинуса они есть, у тангенса и котангенса их нет.

Изобразим схематично графики всех нужных функций. И перечислим некоторые их свойства.

1)) y = sin x

1) Область определения.

D (f): х ϵ (- ∞; + ∞)

2) Область значений.

E(f): yϵ [- 1; 1]

3) функции нечётная.

f (- x) = - f (x)

4) Функция периодическая.

С периодом Т = 2π

2)) y = cos x

1) Область определения.

D (f): x ϵ (- ∞; + ∞)

2) Область значений.

E(f): yϵ [- 1; 1]

3) Функция четная.

f (- x) = f (x)

4) Функция периодическая.

С периодом T = 2π

3)) y = tg x

1) Область определения.

D (f): x ϵ (- π/2 + πn; π/2 + πn); n ϵ Z

2) Область значений.

E(f): y ϵ (- ∞; + ∞)

3) Функция нечётная.

f (- x) = - f (x)

4) Функция периодическая.

С периодом T = π

4)) y = ctg x

1) Область определения.

D (f): x ϵ (πn; π + πn); nϵ Z

2) Область значений.

E(f): y ϵ (- ∞; + ∞)

3) Функция нечётная.

f (- x) = - f (x)

4) Функция периодическая.

С периодом T = π

Посмотрев на графики функций: y = sin x и y = cos x мы видим, что область значений этих функций [- 1; 1].

Следовательно, координаты y, могут быть только в этом отрезке. За ним их нет. Поэтому берётся единичная окружность.

Берутся две взаимно перпендикулярные оси, которым ставятся в соответствие тригонометрические функции.

Горизонтальной оси, которая обычно бывает осью x, ставится в соответствие косинус.

Вертикальной оси, которая обычно бывает осью y, ставится в соответствии синус.

На эти оси накладывается единичная окружность, с центром в начале координат.

Ось x - это значения косинуса, ось y - это значения синуса.

Сама окружность - это координаты x, для синуса и косинуса. То есть ось x, для функций y = cos x и y = sin x.

А взаимно перпендикулярные оси cos x и sin x - это значения y, для функций.

2. Полярные и декартовы координаты; и связь между ними.

На числовой окружности отмечается точка М, которая имеет три координаты.

На самой окружности она имеет координату α (или x)

α - это угол между радиус вектором ОМ и положительным направлением оси x.

Если из точки М опустить перпендикуляры на оси x (cos α) и y (sin α), то это координаты точки М по осям x и y.

Так связаны декартовы координаты точки с полярными координатами (углом поворота α).

Радианы обозначаются при помощи постоянной величины π ≈ 3,14

Радиан - это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

1 рад ≈ 57°

Развёрнутый угол соответствует π радиан.

Окружность координатными осями, делится на четыре четверти.

Так как оси взаимно перпендикулярны, то каждая четверть окружности, имеет угол или дугу равную 90°.

π радиан соответствует, углу в 180°.

Следовательно, угол в 90°, соответствует π/2 радиан.

Получим такие соотношения:

90° = π/2 радиан.

180° = π радиан.

270° = 3π/2 радиан.

Окружность можно делить и на более мелкие части, соответствующие распространённым углам, применяемым в задачах в геометрии.

30° = π/6 радиан.

45° = π/4 радиан.

60° = π/3 радиан.

И так далее.

На окружности отмечаются кратные этим углам; углы, в других четвертях.

Так как синус и косинус, бесконечные периодические функции; то по окружности можно двигаться бесконечно, в обе стороны.

Движение против часовой стрелки - это положительное направление.

Движение по часовой стрелке - это отрицательное направление.

Каждый раз, как мы движемся в различных направлениях, мы попадаем в одни и те же значения на осях x (cos α) и y (sin α); в каких либо углах, повторяющихся через 360° или период 2π.

Поэтому по окружности можно проходить сколько угодно кругов. И через период 360° (2π) попадать в одни и те же значения.

Следовательно, целый круг 360° от угла, можно отбрасывать безнаказанно. Значение будет то же самое.

Если углы даны в радианах, то можно отбрасывать период 2π, от любого угла. И значение будет одно и то же.

Точка на числовой окружности соответствует множеству чисел, которые записываются так:

М соответствует множеству чисел π/6 + 2πn; n ϵ Z.

N соответствуют множеству чисел π/4 + 2πn; n ϵ Z.

P соответствует множеству чисел π/3 + 2πn; n ϵ Z.

A соответствует множеству чисел - π/6 + 2πn; n ϵ Z

B соответствует множеству чисел - π/4 + 2πn; n ϵ Z.

C соответствует множеству чисел - π/3 + 2πn; n ϵ Z.

2πn; n ϵ Z обозначает, что если вместо n подставлять все целые числа; то получится всё множество чисел, нужное нам.

Z - это множество целых чисел.

Если нужно найти, например, числовой промежуток, который соответствует дуге; то его можно записать в виде двойного неравенства.

3. Примеры на вычисление по окружности координат точек.

Пример один.

Найти все числа t, которые на числовой окружности соответствуют дуге AB.

A середина первой четверти.

Ответ: π/4 + 2πn ≤ t ≤ 5π/6 + 2πn; n ϵ Z.

Пример два.

Найти все числа t, которые на числовой окружности соответствует открытой дуге СМ.

М середина второй четверти.

Ответ: π/2 + 2πn < t < 3π/4 + 2πn; nϵ Z.

Пример три.

Найти все числа, t которые соответствуют полуоткрытой дуге AB.

Ответ: π + 2πn ≤ t < 5π/3 + 2πn; nϵ Z.

Координаты, которые мы сейчас находим, это были полярные координаты. То есть координаты угла поворота радиус вектора.

Единичная окружность наложена на оси координат. Декартову систему координат.

Следовательно, точка на окружности имеет три координаты.

Полярную (угол поворота) и две декартовы по осям x и y.

Соединим декартовы координаты с полярными.

Пример один.

Центр числовой единичной окружности совпадает с началом координат, координатной плоскости XOY. Найдите, декартовы координаты заданной точки. М (π/4)

Ответ: М (√2/2; √2/2)

Пример два.

М (2π)

Ответ: М (1; 0)

Пример три.

М (15π/4)

Ответ: М (√2/ 2; - √2/2)

Пример четыре.

Найти наименьшее положительное число и наибольшее отрицательное число, которым на числовой окружности соответствует точка, с декартовыми координатами. (Найти полярные координаты).

М (- √3/2; 1/2)

Ответ: 5π/6 и - 7π/6.

Пример пять.

Найдите на числовой окружности точки с данной координатой. И запишите, каким числам t они соответствуют.

a) y = - √3/2

б) y = 0

в) y = 1

а) y = √3/2

Ответ: 4π/3 + 2πn; n ϵ Z и 5π/3 + 2πn; n ϵ Z.

б) y = 0

Ответ: πn; n ϵ Z

в) y = 1

Ответ: π/2 + 2πn; n ϵ Z.

Пример шесть.

Найдите на числовой окружности точки с координатой абсциссы и запишите, каким числам t они соответствуют.

a) x = √3/2

б) x = - 1

в) x = 0

a) x = √3/2

Ответ: ± π/6 + 2πn; n ϵ Z.

б) x = - 1

Ответ: π + 2πn; n ϵ Z.

в) x = 0

Ответ: π/2 + πn; nϵ Z.

4. Знаки функции в четвертях.

При переходе через значения π/2; π; 3π/2; 2π тригонометрические функции, могут менять знаки своих значений.

1) y = sin x

2) y = cos x

3) y = tg x

4) y = ctg x

Эти знаки значений функций, легче определять на числовой окружности, чем на координатной плоскости.

Для косинуса и синуса ставятся знаки плюс, в положительном направлении осей. А в отрицательном направлении осей, ставятся знаки минус.

Для тангенса и котангенса, знаки ставятся ближе к середине окружности.

Они чередуются, начиная с плюсов в первой четверти.

5. Числовые промежутки на окружности.

Пример один.

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности.

а) Е (2)

б) К (- 4)

В этой задаче абсциссой точки является ось x, то есть ось косинусов (cos t). Ординатой является ось y, то есть ось синусов (sin t)

π ≈ 3, 14 - это иррациональное число.

Точно π вычислить невозможно. Так как это бесконечная не периодическая дробь. Но нам и не нужна точность. Нам нужно только определить, между какими значениями находится число. А потом просто нужно определить знаки синуса и косинуса, в этих четвертях.

Ответ:

а) абсцисса отрицательная, ордината положительная.

б) абсцисса отрицательная, ордината положительная.

Если число больше 6, 28; то из него нужно вычесть это число, столько раз, пока число не станет меньше чем 6, 28.

А затем нужно отметить его на числовой окружности.

Пример два.

Укажите знаки абсциссы и ординаты точки числовой окружности.

а) М (12)

б) P (52)

a) M (12)

M (12) ≈ М (12 - 6, 28) ≈ M (5, 72)

Ответ: абсцисса точки положительная, ордината точки отрицательная.

б) P (52) ≈ P (52 - 6, 28 х 8) ≈ P (1, 76)

Ответ: абсцисса отрицательная, ордината положительная.

Неравенство определения дуг числовых промежутков на окружности.

Числовые оси х и у - это оси значений синуса и косинуса.

Абсциссы - это значение косинуса.

Ординаты - это значение синуса.

Пример один.

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или с ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству. И запишите с помощью двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

a) x > 0

б) x < 1/2

в) x ≥ √3/2

г) x ≤ 1/2

д) y < 0

е) y < √3/2

ж) y ≥ - 1

з) y < 1

a) x > 0

Ответ: t ϵ (- π/2 + 2πn; π/2 + 2πn); nϵ Z.

б) x < 1/2