© Станислав Баранов, 2025

ISBN 978-5-4496-1225-0

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Введение

Хороший способ лучше и быстрее запомнить что-либо – это попытаться объяснить другому человеку то, что нужно запомнить или понять вам самим. Таким образом, вы посылаете в мозг сигнал о том, что изучаемая тема крайне важна.

Автор следует данной рекомендации во многих своих книгах. Они были написаны в период обучения чему-то новому и в период изучения данного вопроса с точки зрения вопросов эффективного обучения¹.

Автор рекомендует дочитать эту книгу полностью, даже если Вы сочли вполне подходящими методы, представленные в начале книги. В первом разделе автор представит общепринятые методы для вычисления квадратов чисел. Среди этих методов будут известные (их изучают в школьном курсе) и малоизвестные, которые используют различные люди-счётчики (фокусники-математики и т.д.). Эти методы вполне подходят для учеников старших классов (8—11 класс).

Во втором разделе автор напишет собственные исследования и собственную методику вычисления квадратов чисел без использования формул (или с минимальным использованием формул из первого раздела. Этот метод можно уже применять для учеников младших классов (начиная с 3 класса), так формулы будут не очень понятны ученикам младших классов. Можно попробовать метод формул для учеников младших классов показать на многочисленных примерах. Но сам автор ученикам младших классов показывает метод первоначального подсчёта квадратов через поиск по квадрату ближайшего числа².

Для математиков и тех, кто хочет разобраться в формулах, я буду приводить доказательства. Доказательства не обязательны к прочтению и будут оформлены курсивом.

Метод формул

Формула квадратов чисел от 11 до 19

Данная формула применима для вычисления квадратов, как частного случая умножения чисел от 11 до 19, когда оба числа одинаковые.

Детям младших классов (3—5 класс) формулу объясняю как методику.

Обозначим цифры единиц чисел из интервала [11, 19] как Х и У. Тот факт, что число десятков равно 1, учтём в формуле как 1 в нужном разряде. Нижним подчёркиванием (вместо математического верхнего) покажем, что умножаются числа 1Х и 1У. Тогда вся формула будет иметь вид:

1Х*1У= (1Х+У) *10+Х*У= (1У+Х) *10+Х*У

Формула умножения, чисел из отрезка [11, 19]

Словами можно объяснить так:

Приумножении чисел из промежутка [11, 19] нужно поступить таким образом. К первому числу надо добавить единицы второго числа (можно наоборот ко второму числу прибавить единицы первого числа). Полученный результат умножить на 10 (приписать справа 0) и прибавить произведение единиц первого и второго числа.

Так как данная книга о квадратах чисел, то применим данную формулу к частным случаям (когда Х=У):

11²=11*11= (11+1) *10+1*1=120+1=121;

12²=140+2²=144;

13²=160+3²=169;

14²=180+4²=196;

15²=200+5²=225;

16²=220+6²=256;

17²=240+7²=289;

18²=260+64=324;

19²=280+81=361;

Необходимо добиться навыка подсчета таких чисел, как в последних двух примерах (18 и 19), когда многие промежуточные выкладки сведены к сумме двух слагаемых. Вполне можно добиться навыка простого запоминания этих квадратов. Подробнее о технике запоминания будет изложено в другом разделе книги, касающегося мнемотехники.

Доказательство.

Доказать справедливость формулы подсчёта таких чисел можно доказать алгебраическими методами.

Перепишем числа 1Х и 1У как 10+Х и 10+У, где Х и У это единицы первого и второго числа.

Тогда (10+Х) * (10+У) =100+10Х+10У+Х*У= (10+Х+У) *10+Х*У.

Выражение в скобках (10+Х+У) это сумма первого числа 10+Х с единицами У второго числа или сумма второго числа 10+У с единицами Х первого числа. Далее полученный результат умножается на 10 и суммируется с произведением единиц первого и второго чисел. Данное правило и было описано словесно в этой главе.

Формула квадратов для чисел, оканчивающихся на 5

Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.

В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.

Формула вычисления квадратов для чисел, оканчивающихся на 5:

Х5²=Х* (Х+1) *100+5²=Х* (Х+1) 25

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5

По видим, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.

Примеры

1) 15²=1* (1+1) *100+5²=200+25=225;

2) 25²=2* (2+1) *100+5²=600+25=625;

3) 75²=7*8*100+5²=5600+25=5625;

4) 95²=9000+25=9025;

5) 115²=11*12*100+25=13225

На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:

85²=7225.

Доказательство.

Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).

Тогда

Х5²= (10Х+5) * (10Х+5) =100Х²+50Х+50Х+5*5=100Х²+100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25

Формула квадратов чисел от 25 до 50

Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].

ХУ²= (ХУ-25) *100+ (50-ХУ) ²

Формула для вычислений квадратов чисел от 25 до 50 включительно

Примеры

1) 39²= (39—25) *100 + (50—39) ²=1400+11²=1400+121=1521

2) 47²= (47—25) *100 + (50—47) ²=2200+9=2209

3) 29²= (29—25) *100 + (50—29) ²=400 +212=400 +441=841

Для использования формулы потребуется хорошее знание квадратов чисел до 25.

Формула квадратов чисел от 50 до 100

Вторая формула применяемая вычислителями, используется для чисел от 50 до 100 включительно:

ХУ²= (ХУ-50) *200+ (100-ХУ) ²

Формула для вычисления квадратов чисел от 50 до 100 включительно

Использование формулы потребует знания квадратов чисел до 50.

Например, для подсчёта квадрата 67, необходимо знание квадрата числа 33=100—67.

Пример

1) 67²= (67—50) *200 – (100—67) ²=3400 +332= 3400 +1089=4489

2) 72²= (72—50) *200 – (100—72) ²=4400 +282=4400 +784=5184

Формулы сокращенного умножения

Для вычисления квадратов чисел используют всего две формулы из всех формул сокращенного умножения:

(a+b) ²=a²+2*a*b+b²;

(a‒b) ²=a²—2*a*b+b².

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения в школьном курсе используются для подсчета квадратов для чисел близких к круглым.

Например, необходимо подсчитать квадрат числа 41. Тогда по формуле сокращенного умножения легко преобразовать:

41²= (40+1) ²=40²+2*40*1+1²=1600+80+1=1681

39²= (40—1) ²=40²—2*40*1+1²=1600—80+1=1521

Квадрат числа, которое на единицу отстаёт (возрастает) от легковычисляемого квадрата приведены выше. Вычислим квадраты чисел, которые отстают (возрастают) на 2 единицы.

42²= (40+2) ²=40²+2*40*2+1²=1600+160+2²=1764

38²= (40—2) ²=40²—2*40*2+2²=1600—160+4=1444

Далее, если число отстаёт (возрастает) на 3 единицы сложность вычислений немного увеличивается:

43²= (40+3) ²=40²+2*40*3+3²=1600+240+9=1849

37²= (40—3) ²=40²—2*40*3+3²=1600—240+9=1369

Если рассматривать числа, которые отстают (возрастают) на 4 единицы, то сложность вычислений по сравнению с другими методами или даже другим выбором «круглого» квадрата очень большая:

44²= (40+4) ²=40²+2*40*4+4²=1600+320+16=1936

36²= (40—4) ²=40²—2*40*4+4²=1600—320+16=1296

Сравните с другими методами:

а) формула квадратов для чисел от 25 до 50

44²= (44—25) *100+ (50—44) ²=1900+36=1936

36²= (36—25) *100+ (50—36) ²=1100+196=1296;

б) формула сокращенного умножения с выбором другого квадрата

44²= (45—1) ²=45²—2*45*1+1²=2025—90+1=1936

36²= (35+1) ²=35²+2*35*1+1²=1225+70+1=1296

Таким образом можно сделать вывод, что формулы сокращенного умножения удобно использовать, если число близко к круглому числу (оканчивающимся на 0 или на 5) на одну единицу. В остальных случаях (числа заканчиваются на цифры 3 и 7) лучше использовать другие формулы для вычислений.

Метод близкого квадрата

Метод близкого квадрата использует формулы сокращенного умножения в другом виде. Для использования метода необходимо знать квадрат числа соседнего с искомым числом. Соседнее число, это число на единицу больше или меньше числа, для которого ищем квадрат. Если непонятно сейчас, то на примерах станет понятно.

Правило:

Чтобы найти квадрат следующего (предыдущего) числа, необходимо к квадрату предыдущего числа прибавить (отнять) число, которое у которого знали квадрат и само число, у которого ищем квадрат.

Метод близкого квадрата неудобно применять для чисел, оканчивающихся на цифры 3 и 7, так обычно немногие помнят или могут быстро подсчитать ближайшие квадраты.

Пример 1.

Необходимо найти 31², зная квадрат числа 30: 30²=900

Здесь 31 следующее число после 30. 900 квадрат числа 30, который известен или его легко подсчитать очень быстро.

31²=900+30+31=961

Пример 2.

Необходимо найти 29², зная квадрат числа 30: 30²=900

Здесь 29 предыдущее число от 30, квадрат, которого известен. Так как нам нужно квадрат предыдущего, то мы отнимаем числа:

29²=900-30-29=841

Доказательство.

Доказательство сразу получается, если формулы сокращенного умножения немного переформулировать, учитывая, что b=1

(a+1) ²=a²+2*a*1+1²= a²+2*a+1=a²+a+ (a+1)

(a‒1) ²=a²—2*a*1+1²= a²—2*a+1=a²‒a‒ (a‒1)

Получим, что a+1 и а-1, это число, которое нужно возвести в квадрат. Число а это число квадрат, которого известен а².

Формула для квадратов чисел от 91 до 99

На своих уроках я проделываю такой опыт. Выписываем все квадраты от 91 до 99. Квадраты можно посчитать различными способами (смотри соответствующие главы – Метод близкого квадрата, Формулы сокращенного умножения и др.):

91²=8281

92²=8464

93²=8649

94²=8836

95²=9025

96²=9216

97²=9409

98²=9604

99²=9801

Далее даю задание ученикам: Как найти квадрат числа не прибегая к полному вычислению каким-либо способом. По-моему опыту с таким заданием справляются ученики 7—8 класса. Ученики подмечают, что ряд чисел, составленный из разрядов тысяч и сотен увеличивается на 2: 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98. В тоже время ряд чисел, составленный из разрядов десятков и единиц это полные квадраты убывающего ряда чисел (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1): 81, 64, 49, 36, 25, 16, 09, 04, 01.

Ещё немного подумав и отвечая на направляющие вопросы наконец самостоятельно находят способ как получать квадраты числа зная само число от 91 до 99. Совершив это маленькое открытие, они очень довольны собой и математика немного становится любимым предметом. А для кого-то эта красота мира чисел оказывает решающее значение и определяет выбор жизненного пути.

Для тех, кто не догадался о способах получения квадрата по числу от 91 до 99 приведу две формулы:

9Х²= (100‒ (10‒Х) *2) *100+ (10-Х) ²;

9Х²= (80+Х*2) *100+ (10-Х) ²

На самом деле формулы действительны для чисел от 90 до 99, но вычислять 90 таким способом слишком неоптимально. Поэтому число 90 исключено из этого промежутка. Вторая формула из представленных более предпочтительна из-за меньшего количества операций.