Воображариум Лобачевского.

© Сергей Гурин. Россия, Рязань, 2025 год.

Предисловие

В декабре 2024 года посетил музей истории Казанского федерального университета. Гид, искренне преданная университету женщина, очень увлечённо и познавательно вела экскурсию. Страстный и насыщенный интересными фактами рассказ об истории университета не мог оставить равнодушным.

Однако, наиболее сильное впечатление оставила ее хвалебная речь о геометрии Н.И. Лобачевского, выдающегося математика, а также одного из ректоров КФУ. К тому же, в этом рассказе был упомянут еще один великий бунтарь ученого мира – А. Эйнштейн и его ТО.

Естественно, после этой оды победе Лобачевского над Евклидовой геометрией, и окончании более чем двухтысячелетней самозабвенной борьбы геометров с пресловутым пятым постулатом Евклида, стало необходимо подробнее познакомиться с предметом.

И, следуя рекомендациям самого Николая Ивановича, знакомство с его геометрией решил начать с работы "Геометрические исследования по теории параллельных линий". В электронной библиотеке КФУ, нашлось одноименное издание АН СССР 1945 года, в переводе и с комментариями, а также вступительными статьями и примечаниями профессора В.Ф. Кагана.

Выводы, к которым пришел при прочтении данной работы, изложил в данной статье.

Вводная часть

Начну с предмета «великого геометрического противостояния», завершившегося, как считается, тем самым откровением Лобачевского – пятого постулата Евклидовой геометрии.

Этот постулат или аксиома, в самой распространенной трактовке утверждает, что если две прямые линии пересекает третья прямая линия, и с одной стороны от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то первые две прямые линии с этой стороны обязательно пересекутся (чертеж №1).

Чертеж №1. Представление пятого постулата Евклида в трактовке пересекающихся линий.

Другая популярная трактовка:

–в одной плоскости через точку, не лежащую на прямой линии, можно провести лишь одну другую прямую линию, не пересекающуюся с первой. При этом, внутренние углы с одной стороны от третьей прямой линии, проходящей через ту же точку и пересекающей первые две прямые линии, равны в сумме двум прямым (чертеж №2).

Чертеж №2. Представление пятого постулата Евклида в трактовке единственной параллельной.

И вот эта пятая аксиома Евклидовой геометрии (хотя, как я понимаю, самый ранний из известных текстов с постулатами Евклида моложе его самого более чем на тысячу лет, и как могли измениться первоначальные формулировки, при переписывании за этот срок, одному Евклиду и было бы ведомо), называемая постулатом о параллельности, постоянно будоражила сознание математиков, заставляя их искать доказательства ее истинности. И каждый участник этой борьбы утверждал, что его доказательство лучше, а зачастую и то, что утверждения предыдущих вообще не имеют доказательной силы.

И вот в эту борьбу с Евклидовой параллельностью вступил и Николай Иванович Лобачевский. И хотя, как я понимаю, у него были и другие претензии к Евклидовому описанию геометрии, основное недовольство выражалось именно теории параллельности. Вот его слова (здесь и далее «курсивом в кавычках» выделяю формулировки Николая Ивановича Лобачевского из указанной выше книги):

«Кто не согласится, что никакая математическая наука не должна была бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию; и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий»

Обобщив весь, накопленный до него, опыт доказательств пятого постулата, Лобачевский пришел к выводу, что никто так ничего и не доказал (впрочем, так делали и все предыдущие доказыватели):

«Измерение плоскостей основывается на том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда одна перпендикул, а другая наклонена под острым углом, обращенным к перпендикулу. Линии АВ и CD должны сходиться по достаточном продолжении, если одна из них АВ перпендикулярна к ВС, а другая CD наклонена к ВС под острым углом С, обращенным к перпендикулу АВ. Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».

И конечно же сам Николай Иванович искренне считал, что данную проблему решил:

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году»

При погружении в тему стало очевидно, что в геометрии Лобачевского, претензии не касаются общих взаимоотношений между привычными геометрическими объектами, различия ограничиваются именно нестандартным подходом к вопросу параллельности. И уже этот, принятый за истину, нестандарт используется для дальнейших доказательств специфических, отличных от Евклидовой геометрии, закономерностей. В связи с чем, в данной статье основное внимание обращено на утверждения Лобачевского (он их называет «Предложения»), имеющие отношение к вопросу параллельности. Причем полностью рассуждения Николая Ивановича будут приводиться только если это необходимо.