В отрицательном предложении must и don’t have to имеют разные значения:
You mustn’t feed the animals at the Zoo. – Запрещено: «вы не должны» кормить животных в зоопарке.
You don’t have to learn it by heart. – Нет необходимости учить это наизусть (в этом нет необходимости, но если хотите, можете выучить это наизусть).