BIBLIOTECA CLÁSICA GREDOS, 191

Asesor para la sección griega: CARLOS GARCÍA GUAL .

Según las normas de la B. C. G., la traducción de este volumen ha sido revisada por PALOMA ORTIZ .

© EDITORIAL GREDOS, S. A.

Sánchez Pacheco, 85, Madrid, 1994.

www.editorialgredos.com

PRIMERA EDICIÓN , 1994.

REF. GEBO294

ISBN 9788424932237.

NOTA SOBRE LA PRESENTE TRADUCCIÓN

La presente traducción sigue la edición de J. L. Heiberg y H. Mengue, Euclidis Opera omnia , vols. I-IV, Leipzig, 1883-1886. Como en el volumen anterior, pongo entre paréntesis aquellas palabras o frases que no aparecen en el texto griego y que considero necesarias para la comprensión del mismo.

Por otra parte, dada la importancia de la formulación original de la relación de proporción hos… hoútos: «como… es a…, así… es a…», mantendré esta traducción, a pesar de que en castellano su forma más frecuente es: «…es a… como… es a…».

Conste, en fin, mi agradecimiento a Luis Vega por su colaboración en las notas.

LIBRO QUINTO

DEFINICIONES

1.Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor ¹ .

2.Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.

3.Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas ² .

4.Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra ³ .

5.Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón ⁴ con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente ⁵ .

6.Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón ⁶ .

7.Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta ⁷ .

8.Una proporción entre tres términos es la menor posible ⁸ .

9.Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que (guarda) con la segunda.

10.Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que (guarda) con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual fuere la proporción ⁹ .

11.Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes ¹⁰ .

12.Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente ¹¹ .

13.Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente ¹² .

14.La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola (magnitud) en relación con el propio consecuente ¹³ .

15.La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente ¹⁴ .

16.La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente ¹⁵ .

17.Una razón por igualdad ¹⁶ se da cuando, habiendo varias magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última—entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes— la primera es a la última; o, dicho de otro modo, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios ¹⁷ .

18.Una proporción perturbada ¹⁸ se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como el antecedente es al consecuente —entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes—el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a alguna otra (magnitud) —entre las primeras magnitudes—, así —entre las segundas magnitudes—alguna otra (magnitud) es al antecedente ¹⁹ .

PROPOSICIÓN 1

Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas .

Sean un número cualquiera de magnitudes AB , ΓΔ respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes E , Z iguales en número.

Digo que, cuantas veces AB sea múltiplo de E , tantas veces lo serán también AB , ΓΔ de E , Z .

Pues dado que AB es equimúltiplo de E y ΓΔ de Z , entonces, cuantas magnitudes iguales a E hay en AB , tantas hay también en ΓΔ iguales a Z . Divídase AB en las magnitudes AH , HB iguales a E y ΓΔ en las (magnitudes) ΓΘ , ΘΔ iguales a Z ; entonces el número de las (magnitudes) AH , HB será igual al número de las (magnitudes) ΓΘ , ΘΔ . Ahora bien, como AH es igual a E y ΓΘ a Z , entonces AH es igual a E y AH , ΓΘ a E , Z . Por lo mismo, HB es igual a E y HB , ΘΔ a E , Z ; por tanto, cuantas (magnitudes) hay en AB iguales a E , tantas hay también en AB , ΓΔ iguales a E , Z ; luego cuantas veces sea AB múltiplo de E , tantas veces lo serán también AB , ΓΔ de E , Z .

Por consiguiente, si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán también todas de todas. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 2

Si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta .

Pues sea la primera (magnitud), AB , el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la tercera, ΔE , de la cuarta, Z , y sea la quinta, BH , el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la sexta, EΘ , de la cuarta, Z .

Digo que la suma de la primera y la quinta, AH , es el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la (suma de) la tercera y la sexta, ΔΘ , de la cuarta, Z .

Pues, dado que AB es el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z , entonces, cuantas (magnitudes) hay en AB iguales a Γ , tantas hay también en ΔE iguales a Z . Y, por lo mismo, cuantas (magnitudes) hay en BH iguales a Γ , tantas hay también en EΘ iguales a Z ; así pues, cuantas (magnitudes) hay en la (magnitud) entera AH iguales a Γ , tantas hay también en la (magnitud) entera ΔΘ iguales a Z ; por tanto, cuantas veces AH es múltiplo de Γ , tantas veces lo será ΔΘ de Z . Luego la suma de la primera y la quinta, AH , será también el mismo múltiplo de la segunda, Γ , que la (suma de) la tercera y la sexta, ΔΘ , de la cuarta, Z .

Por consiguiente, si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 3

Si una primera (magnitud) es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad ²⁰ cada una de las dos (magnitudes) tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda, y la otra de la cuarta .

Pues sea la primera, A , el mismo múltiplo de la segunda, B , que la tercera, Γ , de la cuarta, Δ , y tómense los equimúltiplos EZ , HΘ de A , Γ .

Digo que EZ es el mismo múltiplo de B que HΘ de Δ .

Pues dado que EZ es el mismo múltiplo de A que EZ de Γ , entonces, cuantas (magnitudes) hay en EZ iguales a A , tantas hay también en HΘ iguales a Γ . Divídase EZ en las magnitudes EK , KZ iguales a A , y HΘ en las (magnitudes) HΛ , ΛΘ iguales a Γ . Entonces el número de las (magnitudes) EK , KZ será igual al número de las (magnitudes) HΛ , ΛΘ . Y puesto que A es el mismo múltiplo de B que Γ de Δ , mientras que EK es igual a A y HΛ a Γ , entonces EK es el mismo múltiplo de B que HΛ de Δ . Por lo mismo KZ es el mismo múltiplo de B que ΛΘ de Δ . Así pues, dado que la primera, EK , es el mismo múltiplo de la segunda, B , que la tercera, HΛ , de la cuarta, Δ , y la quinta, KZ , también es el mismo múltiplo de la segunda, B , que la sexta, ΛΘ , de la cuarta, Δ ; entonces la suma de la primera y la quinta, EZ , es también el mismo múltiplo de la segunda, B , que la (suma de) la tercera y la sexta, HΘ , de la cuarta, Δ [V, 2].

Por consiguiente, si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también, por igualdad, cada una de las dos (magnitudes) tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 4

Si una primera (magnitud) guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente .

Pues guarde la primera (magnitud), A , la misma razón con la segunda, B , que la tercera, Γ , con la cuarta, Δ , y tómense los equimúltiplos E , Z de A , Γ , y otros equimúltiplos tomados al azar ²¹ H , Θ , de B , Δ .

Digo que como E es a H , así Z es a Θ .

Pues tómense los equimúltiplos K , Λ de E , Z , y otros equimúltiplos tomados al azar, M , N de H , Θ .

Dado que E es el mismo múltiplo de A que Z de Γ , y se han tomado los equimúltiplos K , Λ de E , Z , entonces K es el mismo múltiplo de A que Λ de Γ [V, 3]. Por lo mismo M es el mismo múltiplo de B que N de Λ . Ahora bien, puesto que A es a B como Γ a Δ , y se han tomado los equimúltiplos K , Λ de A , Γ y otros equimúltiplos tomados al azar M , N de B , Δ , entonces, si K excede a M , Λ también excede a N , y si es igual, es igual, y si menor, menor [V, Def. 5]. Ahora bien, K , Λ son equimúltiplos de E , Z , y M , N otros equimúltiplos tomados al azar de H , Θ ; por tanto como E es a H , así Z a Θ [V, Def. 5].

Por consiguiente, si una primera (magnitud) guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 5

Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una (magnitud) quitada (a la primera) lo es de otra quitada (a la segunda), la (magnitud) restante (de la primera) será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante (de la segunda) que la (magnitud) entera de la (magnitud) entera .

Pues sea la magnitud AB el mismo múltiplo de la (magnitud) ΓΔ que la (magnitud) quitada AE de la (magnitud) quitada ΓZ .

Digo que la (magnitud) restante EB será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante ZΔ que la (magnitud) entera AB de la (magnitud) entera ΓΔ .

Así pues, cuantas veces sea AE múltiplo de ΓZ , tantas veces lo sea EB de ΓH ²² .

Y dado que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ , entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de HZ [V, 1]. Pero se ha asumido ²³ que AE sea el mismo múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ . Por tanto, AB es el mismo múltiplo de cada una de las dos (magnitudes) HZ , ΓΔ ; luego HZ es igual a ΓΔ . Quítese de ambas ΓZ ; entonces la restante HΓ es igual a la restante ZΔ . Y puesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ , y HΓ es igual a ΔZ , entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de ZΔ . Pero se ha supuesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ ; por tanto EB es el mismo múltiplo de ZΔ que AB de ΓΔ . Luego la restante (magnitud) EB también será el mismo múltiplo de ZΔ que la (magnitud) entera AB de la (magnitud) entera ΓΔ .

Por consiguiente, si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una (magnitud) quitada (a la primera) lo es de otra quitada (a la segunda), la (magnitud) restante (de la primera) será también el mismo múltiplo de la (magnitud) restante (de la segunda) que la (magnitud) entera de la (magnitud) entera. Q . E . D .

PROPOSICIÓN 6

Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas (magnitudes) quitadas (de ellas) son equimúltiplos de estas (dos segundas), las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas .

Pues sean dos magnitudes AB , ΓΔ equimúltiplos de dos magnitudes E , Z , y sean las (magnitudes) quitadas AH , ΓΘ equimúltiplos de las mismas E , Z .

Digo que las (magnitudes) restantes HB , ΘΔ también son iguales a E , Z o equimúltiplos de ellas.

Pues sea en primer lugar HB igual a E .

Digo que ΘΔ es también igual a Z .

Así pues, hágase ΓK igual a Z . Dado que AH es el mismo múltiplo de E que ΓΘ de Z , y que HB es igual a E y KΓ a Z , entonces AB es el mismo múltiplo de E que KΘ de Z [V, 2]. Pero se ha supuesto que AB es el mismo múltiplo de E que ΓA de Z ; por tanto KΘ es el mismo múltiplo de Z que ΓΔ de Z . Así pues, dado que cada una de las (magnitudes) KΘ , ΓΔ es el mismo múltiplo de Z , entonces KΘ es igual a ΓΔ . Quítese de ambos ΓΘ ; entonces la (magnitud) restante KΓ es igual a la (magnitud) restante ΘΔ . Pero Z es igual a KΓ ; entonces ΘΔ también es igual a Z . De modo que si HB es igual a E , también ΘΔ será igual a Z .

De manera semejante demostraríamos que, si HB es múltiplo de E , ΘΔ será también el mismo múltiplo de Z ²⁴ .

Por consiguiente, si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes, y ciertas (magnitudes) quitadas (de ellas) son equimúltiplos de estas (dos segundas), las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas. Q . E . D . ²⁵ .

PROPOSICIÓN 7

Las (magnitudes) iguales guardan la misma razón con una misma (magnitud) y la misma (magnitud) guarda la misma razón con las (magnitudes) iguales .

Sean A , B las magnitudes iguales y Γ otra, tomada al azar ²⁶ .

Digo que cada una de las (magnitudes) A , B guarda la misma razón con Γ y Γ con cada una de las (magnitudes) A , B .

Pues tómense los equimúltiplos Δ , E de A , B y otro equimúltiplo al azar, Z de Γ .