(Это, по преданию, сказал Давид Гильберт об одном из своих учеников.)
Мощная книга. Хочется привести миллион длинных цитат, но не буду. Коротко о ней написать трудно, но попробую. Может быть, получится.
Давид Бессис, "завязавший математик", рассказывает, что́ есть понимание в математике и какова роль воображения и интуиции в этом деле. Сорок лет назад я и сам завязал, но ещё помню, как это бывает, и свидетельствую: как написал Бессис, так всё и есть. Если долго мысленно общаешься с математическим объектом, он становится живым и открывает свои свойства не на уровне формальных выражений, а вполне осязаемо. Главное не торопиться. При этом словами этот живой объект описать нет никакой возможности. И это очень тонкое наблюдение.
Например, я не испытываю абсолютно никакого трепета перед Канторовскими бесконечностями. Они мои хорошие знакомые и даже друзья. Всё потому, что я с ними много общался.
Четырёхмерное пространство я представляю себе плохо, зато когда дело касается функций комплексной переменной, у меня есть свой метод мысленной визуализации (там тоже требуется четыре измерения). И кое-какие описания Бессиса сильно напомнили мне мои собственные ощущения, хотя -- повторю -- словами это не опишешь.
Мои любимые объекты -- фракталы. Я их вижу буквально везде, благо, это совсем легко, в отличие многих других сущностей. Странно, что Бессис их не упомянул. В его рассуждениях об определениях фракталы были бы весьма уместны.
И вот такие вещи и отличают интересную математику от унылой.
Унылая -- это та, что похожа на творения Бурбаков. Они нанесли значительный урон преподаванию предмета. После их нововведений о французской математике почти ничего не стало слышно.
Хотя слова по большей части и неприменимы, для формирования живых образов бывает полезно кому-нибудь об этой материи рассказать. Желательно -- ребёнку.
Я пару раз рассказал заинтересованным слушателям о теореме Банаха-Тарского, и теперь отлично представляю себе, как постепенно сфера заполняется точками до пресловутого "счётного всюду плотного состояния". Увидеть процесс можно только мысленно, и это теперь для меня самая простая задача.
А вот ещё нетривиальная идея. Это не точная цитата, но довольно близко к тексту.
Вопрос: можем ли мы узнать что-либо о мире с помощью словаря?
Ответ: нет, не можем.Что такое банан? Смотрим в словарь и видим, что это «съедобный плод бананового дерева, продолговатой формы, вначале зеленый, затем желтый с черными точками при созревании, с мучнистой мякотью». Так, а что такое банановое дерево? Это «однодольное древовидное травянистое растение семейства банановых, плодом которого является банан».
Если немного сократить, останется, что банан – это плод бананового дерева, которое плодоносит бананами.
Выкидываем технический детали и остаётся: банан — это банан. Никто, кто до этого не знал ничего о банане, так ничего о нём и не узнает.Что такое тепло? «Свойство чего-то теплого, ощущение, создаваемое горячим предметом». Что такое горячий? «С температурой выше нормы, повышенной температуры». Что такое температура? «Показатель, насколько тело или среда горячи или холодны».
Что есть истина? «Свойство того, что истинно». Истинный? «Соответствующий истине».
А ведь языковые модели учатся ровно так, на голых текстах. Всё происходит без малейшего контакта с какой бы то ни было реальностью.
Они умеют ловко жонглировать словами. Но есть ли у них хоть какое-то понимание того, о чём они болтают?
Часто общаюсь с китайским Deepseek-ом и нахожу его умным и понятливым собеседником. Тем не менее тут есть о чём подумать на досуге...
Давид Бессис написал вдохновенный рассказ о том, что происходит в голове математика. Собственно, у каждого в голове происходит нечто своё, причём полноценно поделиться этим не представляется возможным. Так или иначе, он таки нашёл достаточно адекватные слова. Невозможно было оторваться от его текста. Это лучшая книга о математике из всех, что я на сегодня прочитал.
Кстати, автор считает, что книги по математике читать невозможно и делать этого не надо, потому что они написаны нечеловеческим языком. Читать надо о математике, т.е. популярные книги. Именно они и позволяют свести настоящее живое знакомство с математическими объектами.
Думаю, он прав. На моей книжной полке стоит несколько превосходных книг по математике, которых я не прочитал. (Теперь уж и не прочитаю, Алексей Савватеев доходчиво всё разъяснил.)
А вот книги серии "Мир математики Де Агостини" -- это как раз то что надо.
В целом же математика настолько вошла в нашу жизнь, что явно или неявно составляет основу мироощущения любого современного человека:
Даже если вы считаете себя неспособным к математике, концептуальная сетка, которую математика уже образовала внутри вашей головы, – надежнейшая опорная точка для вашего мировосприятия. Без чисел, без кругов и квадратов, без концепта трехмерного пространства, без концепта точки и траектории, без декартовых координат, без концептов расстояния, скорости и ускорения, без идеи, что прямая может продолжаться бесконечно, без концепта вероятности, без концепта счета, без концепта истины и рассуждения мир вокруг вас вдруг стал бы настолько зыбким и нестабильным, что вам показалось бы, что вы подверглись лоботомии.
Это же и главная мысль Давида Бессиса. На свете нет неспособных к математике людей. Есть такие, которым неправильно объяснили, что есть математика.
Тем и закончу, пожалуй, хотя легко могу написать ещё страниц десять.