Yazarın diğer kitapları:

I Used to Know That: Maths

(Eskiden Matematiği Böyle Bilirdik)

Sıfırdan Sonsuza Matematiğin Öyküsü

GİRİŞ

Bu kitaba, matematiğin her yerde olmasına rağmen öneminin yeteri kadar anlaşılmadığı hakkında sızlanarak başlayabilirdim. Bu doğru, ancak bana kalırsa bunu zaten daha önce de duymuşsunuzdur ve bu kitabı seçme nedeniniz de muhtemelen bu değildir.

Ya da matematikten anlamanın veyahut matematikte iyi olmanın, özellikle de teknoloji hayatlarımızda her geçen gün daha baskın bir rol oynadığı için, iş piyasasında müthiş bir avantaj sağladığından da bahsederek söze başlayabilirdim. Matematiğe kafası basan insanlar için harikulade mesleklerin olduğu doğrudur, ancak dürüst olmak gerekirse bu kitap size bunlardan birini sağlamayacaktır.

Bunun yerine, sizlere matematik alanındaki becerinin öğrenilebileceğinden bahsederek başlamak istiyorum. Çoğumuzda bir matematik korkusu vardır. Bu bir hastalık gibidir ve bu korkuyu daha önce kendilerine bulaşmış diğer insanlardan kapmaktayız. Ebeveynimiz, arkadaşlarımız ve hatta öğretmenlerimiz bile olası taşıyıcılar olup matematiğin sadece şanslı ve bu işe yatkın bir beyinle doğmuş bir grup seçkin insan için anlaşılabilir bir şey olduğunu düşünmemize neden olmaktalar. Bu seçkin bireyler hiçbir çaba sarf etmeden matematiksel işlemleri yapabilirler ve genellikle de bizim kendimizi aptalmış gibi hissetmemize neden olurlar.

İşte bu doğru değil.

Eğer isterse, herkes matematik öğrenebilir. Evet, doğru, bu iş herhangi bir beceri gibi biraz zaman ve çaba gerektirir. Evet, bazıları diğerlerine göre daha hızlıdır, ancak bu durum öğrenmeye değer çoğu şey için de geçerlidir. Meşgul olduğunuzu biliyorum, bu yüzden de kitabın önceliği size kolayca yutulur lokmalar sunmak. Konuları kademeli olarak öğrenebilir, her birini bir öncekinin üzerine inşa edebilir ve böylece de etrafımızı çevreleyen dünyayı gerçekten de izah eden kavramları çok çaba sarf etmeden belleğinize yerleştirebilirsiniz.

Kitabı birkaç bölüme ayırdım. Temel konuların birçoğunu zaten okulda eğitim aldığınız dönemlerden hatırlayacaksınız, ancak asıl amacım matematiğin muhtemelen daha önce görmediğiniz gerçek anlamda lezzetli parçacıklarının tadına hızlı lokmalarla varmanızı sağlamak. Kitabı en başından başlayıp sonuna dek okuyup bitirebilir ya da dilediğiniz zaman, belki de canınız çektikçe arada bir göz atabilirsiniz. Yani kısacası kitabı aynı zamanda hem altı çeşitlik bir yemek hem de açık büfe bir öğün olarak görebilirsiniz.

Ayrıca arada yemeğinizin tadı tuzu olsun diye ile keşiflerin nasıl ve kimler tarafından yapıldığına, bu sırada nelerin ters gittiğine dair kısa hikâyeler de ekledim. İlginç ve eğlenceli olmasının yanı sıra bu hikâyeler, bize matematiğin atalarımızın hayata nasıl yaklaştıkları konusunda birçok şey anlatan hayat dolu bir alan olduğunu anımsatmaktadır. Kitap ayrıca meşhur ve dâhi matematikçilerin ulaştıkları yere varabilmek için tıpkı bizler gibi çok çalışmak zorunda kaldıklarını göstermektedir.

Ziyafete hazırlanın. Umarım acıkmışsınızdır.

1
SAYI KAVRAMI

1. Bölüm
SAYI TÜRLERİ

İnsanların yüzde altmış dördü bir süper bilgisayara erişim sağlayabiliyor.

2017 yılında toplam insan nüfusunun 7,5 milyara ulaşmasıyla birlikte cep telefonu olan insanların sayısının da tahminen 4,8 milyara ulaştığı hesaplanmıştır. Japon asıllı Amerikalı fizikçi Michio Kaku’nun (doğumu 1947) belirttiği üzere “Bugün elinizdeki cep telefonlarının programlama gücü 1969 yılında Ay’a iki astronot indiren NASA’ dan çok daha fazladır. ”

İhtiyaç duyduğumuz herhangi bir aritmetik işlemi parmağımızı ekranda hafifçe gezdirerek cep telefonlarımız üzerinden yapabiliriz. O halde neden aritmetik öğrenmeyi dert edinelim ki?

Çünkü herhangi bir aritmetik işlemi yapabilirseniz sayıların nasıl işlediğini anlamaya başlarsınız. Matematiğin, sayıların nasıl işlediğini inceleyen dalına aritmetik denirdi ancak günümüzde bu sözcüğün hesaplama yapmak anlamında kullanıldığını görüyoruz. Sayıların doğasını inceleyen matematikçilere ise sayı kuramcıları ismi veriliyor ve onlar da evrenimizin matematiksel temelleriyle sonsuzluğun doğasını anlamaya çalışıyorlar.

Çok büyük iş.

Başlarken sizi bir hayvanat bahçesi gezisine götürmek istiyorum.

İnsanlar nesneleri saymaya ilk önce tek bir şeyle başlayıp sonrasında tüm sayıları (ya da tam sayılar) üst üste eklediler. Bu sayılara doğal sayılar denir. Şayet bu sayıları sonsuz sayıda parmaklığı olan bir matematik hayvanat bahçesine koyacak olsaydım her bir sayı için bir parmaklığa ihtiyaç duyardık:

1, 2, 3, 4, 5, 6…

Antik Yunanlar sıfır elmadan oluşan bir kümeye sahip olamayacağımız için sıfırın doğal olmadığını düşündüler ancak biz negatif tam sayılar, yani eksi sayılarla pozitif olanlar arasındaki boşluğu doldurduğu için sıfırın doğal sayılar arasına girmesine izin veriyoruz. Şayet sıfır ile negatif tam sayıları da hayvanat bahçeme dahil edersem, şu şekilde görünecektir:

…-6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Artık hayvanat bahçem tüm negatif tam sayıları da içermektedir ve bu da doğal sayılarla birleştiğinde tam sayı olarak isimlendirilen, hayali bir sayı grubunu oluşturmaktadır. Her bir pozitif tam sayıya karşılık negatif bir tam sayı bulunduğundan hayvanat bahçemin öncekine göre iki kat fazla parmaklığa bir de sıfır için ekstra yere ihtiyacı olacaktır. Bununla birlikte sonsuz matematiksel hayvanat bahçemin daha fazla büyümesine gerek yoktur çünkü zaten sonsuz büyüklüktedir. Bu durum daha önce bahsettiğim çok büyük iş için basit bir örnektir.

Tam sayı olmayan diğer sayı türleri de vardır. Elma kümeleri Yunanlara yetiyordu ancak biz bir elmanın bölünüp belirli bir sayıdaki insan grubu arasında paylaşılabileceğini biliyoruz. Bu gruptaki her bir birey elmanın bir bölümünü alacaktır; ben de hayvanat bahçeme her bir bölümden (kesir) örnek almak istiyorum.

Şayet sıfır ile bir arasındaki bütün kesirleri listelemek istersem yarımlar, üçte birler, sonra çeyrekler vs. ile başlamak mantıklı olacaktır. Bu sistemli yaklaşım hiçbirini kaçırmadan bütün kesirleri elde etmemi sağlayacaktır. Bu sebeple bütün doğal sayıları payda olarak (kesir çizgisinin altındaki sayılar) kullanmak zorunda kalacağımı kabul edebilirsiniz. Her bir farklı payda için de sıfırdan başlayıp paydanın değerine ulaşana dek artacak olan sayıda farklı paya (kesir çizgisinin üstündeki sayı) ihtiyaç duyacağım.

Kesirler

Kesirler, tam sayıların arasındaki sayıları belirtir; bir kesir çizgisinin üstünde bir sayı (pay) ve altında bir sayı (payda) olacak biçimde yazılırlar. Örneğin “yarım” ifadesi şu şekilde gösterilir:

Burada “1” pay, “2” ise paydadır. Bu biçimde yazılmasının nedeni, değerinin birin ikiye bölünmesi ile elde edilen değere eşit olmasıdır. Bir şeyi iki kişi arasında paylaştırırsanız size o şeyden elde edeceğiniz kesri göstermektedir. ise üç şeyin dört kişi arasında bölüştürülmesidir. Yani her bir birey üç tane çeyrek bölüm elde etmektedir.

Sıfır ile bir arasındaki tüm kesirleri hallettikten sonra tüm doğal sayılar arasındaki tüm kesirleri yazmak için bunu kullanabilirim. Şayet sıfır ile bir arasındaki tüm kesirlere bir eklersem bu bana bir ile iki arasındaki tüm kesirleri verecektir. Şayet onlara da bir eklersem bu sefer iki ile üç arasındaki tüm kesirlere ulaşırım. Bunu tüm doğal sayılar arasındaki kesirleri tamamlamak için yapabilirim ve negatif tam sayılar arasındaki kesirlerin tümünü tamamlamak için de birer tane çıkarabilirim.

Böylece sonsuz sayıda tam sayım olur ve artık kesirler için her birinin arasında sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var. Bu da toplamda sonsuz çarpı sonsuz sayıda parmaklığa ihtiyacım var demektir. Çok büyük bir iş gibi görünüyor ancak neyse ki hâlâ yeterli sayıda parmaklığım var.

Kesirleri oran olarak da yazmak mümkündür, dolayısıyla kesirler ayrıca orantısal (rasyonel) sayılar olarak da nitelendirilebilir. Artık doğal sayıların da içinde bulunduğu tam sayıları (tam sayılar bire bölünerek kesirler olarak da yazıldığı için) içeren tüm rasyonel sayıları hayvanat bahçeme koymuş durumdayım. Bitti.

Bir saniye! Bundan 2500 yıl önce Hindistan’da bazı matematikçiler, kesir olarak yazılamayan bazı sayıların varlığından bahsetmektelerdi ve tabii ki “bazı” sayılar derken aslında sonsuz sayıda olduklarını kastediyorlardı. Karesi (kendisiyle çarpımı) iki olan bir sayı olmadığını keşfettiler, böylece ikinin karekökünün rasyonel bir sayı olmadığı anlaşıldı. Aslında ikinin karesini yuvarlamadan bir sayı olarak yazamıyoruz, bu sebeple de ikiye yaptığımız şeyi kök sembolünü kullanarak gösterebiliriz:√2. Yazılamayan bir sayıyı yazmaya çalışmak biraz beyhude bir iş olduğundan bunun yerine sembol kullandığımız gerçekten önemli diğer sayılar da mevcuttur: π, e, φ gibi sayılar daha sonra bakacağımız bu tip sayılara verilebilecek üç örnektir. Bu tip sayılara irrasyonel sayılar deriz ve bunları da hayvanat bahçeme koymam gerekir. Peki, ardışık rasyonel sayılar arasında kaç tane irrasyonel sayı olduğunu tahmin edebilir misiniz? Doğrusu, sonsuz sayıda! Her ne kadar bu konuda Cantor’un (bkz. sayfa 17) söyleyecek birkaç şeyi olsa da ekstra parmaklık inşa etmek zorunda kalmadan bu sayıları da sonsuz hayvanat bahçeme sıkıştırabilirim.

Kareler ve Karekökler

Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda bu sayının karesini elde etmiş oluruz. Bu durumu üst ya da kök üssü olarak adlandırılan küçük bir iki ile gösteririz.

Üçün karesi dokuzdur. Bu da üçü, dokuzun karekökü yapar. Karekök almak bir sayının karesinin alınmasının tam tersidir. On altının karekökü dörttür, çünkü dördün karesi on altıdır.

Dokuz ve on altı gibi sayılar tam karedirler çünkü bu gibi sayıların karekökü bir tamsayıdır. Kesirler ve ondalık sayılar dahil olmak üzere her sayının karesi alınabilir. Her pozitif sayının da karekökü alınabilir.

(Bu konu hakkında daha fazla bilgi için bkz. sayfa 58)

İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayıları bir araya getirdiğimizde matematikçilerin gerçek (reel) sayılar olarak nitelendirdiği sayıları elde ederiz. Daha önce bahsettiğimiz sayıların bir örüntü oluşturduğunu (rasyonel-irrasyonel) fark ettiyseniz gerçek olmayan sayıların da var olabileceğinden şüphelenebilirsiniz ve haklısınız da. Ancak burada durup hayvanat bahçeme “Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi” ismini vereceğim. Çoğu hayvanat bahçesi hayvanlarını türlerine göre ayırır, bu yüzden de kendi bahçemi örtüşen sayı türlerine göre organize edebilirim. Haritası şu şekilde görünebilir ve hayvanat bahçesinde geçireceğiniz gününüzü planlamanıza yardımcı olması için mutlaka görülmesi gereken birkaç yer de ekledim:

Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi

Hayvanat bahçemin Alman matematikçi David Hilbert’e (1862-1943) çok şey borçlu olduğu gerçeğini kabul etmem gerekir. Matematiğe çok büyük katkısı olmuştur ancak en çok da bu konunun lideri ve savunucusu olmasıyla bilinir. 1900 yılında Uluslararası Matematik Kongresi için – günümüzde Hilbert problemleri olarak bilinen – yirmi üç çözülmemiş problemden oluşan bir liste çıkarmıştır ve bu problemlerden üçü hâlâ çözülememiştir. Hayvanat bahçemin kaynağını oluşturan Hilbert Oteli düşünce deneyi, Hilbert’in sonsuz sayıda misafirin doldurduğu sonsuz sayıda odası bulunan bir otel hakkındaki derin düşünceleriyle ilgilidir. Hilbert’e göre otelin ilk müşterilerini oda numaralarını ikiyle çarpıp elde ettiğimiz yeni numarayı taşıyan odaya yerleşmeye ikna edersek, otele sonsuz sayıda müşteriyi yerleştirebiliriz. Mevcut müşteriler artık çift sayılı odalarda kalacaktır ve tek sayılı odalar da (bunların sayısı da sonsuz olacaktır) yeni gelenlere kalacaktır.